ln(x) fonksiyonunun integrali

Question

ln(x)'in integralini alırken kafam karışıyor. Hangi yöntemi kullanmam gerektiğini tam olarak bilemiyorum. Kısmi integrasyon yapıyorum ama işlem sırasında nerede hata yaptığımı bulamıyorum.

Answer 1

📈 ln(x) Fonksiyonunun İntegrali

Doğal logaritma fonksiyonu olan ln(x)'in integralini bulmak için kısmi integrasyon yöntemini kullanacağız. Bu yöntem, integrali alınması daha kolay iki fonksiyonun çarpımı şeklinde yazmamızı sağlar.

🎯 Kısmi İntegrasyon Yöntemi

Kısmi integrasyon formülü şu şekildedir:

\( \int u \, dv = uv - \int v \, du \)

🔍 Adım Adım Çözüm

1. Adım: u ve dv'yi Belirleme ✅

ln(x) fonksiyonunu integralini almak için:

• 📌 \( u = \ln(x) \)
• 📌 \( dv = dx \)

2. Adım: du ve v'yi Hesaplama ✅

• ➡️ \( du = \frac{1}{x} dx \)
• ➡️ \( v = x \)

3. Adım: Formülde Yerine Koyma ✅

\( \int \ln(x) \, dx = \int u \, dv = uv - \int v \, du \)

\( = x \cdot \ln(x) - \int x \cdot \frac{1}{x} dx \)

\( = x \ln(x) - \int dx \)

4. Adım: İntegrali Tamamlama ✅

\( \int \ln(x) \, dx = x \ln(x) - x + C \)

Burada C, integral sabitini temsil eder.

📚 Sonuç

Doğal logaritma fonksiyonunun integrali:

\( \int \ln(x) \, dx = x \ln(x) - x + C \)

💡 Önemli Noktalar

• ✨ Bu integral sadece x > 0 için geçerlidir çünkü ln(x) sadece pozitif x değerleri için tanımlıdır.
• ✨ Kısmi integrasyon yöntemi, ln(x) gibi logaritmik fonksiyonların integrallerinde sıkça kullanılır.
• ✨ Sonuç, ln(x)'in türevinin 1/x olduğu gerçeğiyle tutarlıdır.

🧮 Örnek Uygulama

\( \int_{1}^{e} \ln(x) \, dx \) belirli integralini hesaplayalım:

\( = [x \ln(x) - x]_{1}^{e} \)

\( = (e \cdot \ln(e) - e) - (1 \cdot \ln(1) - 1) \)

\( = (e \cdot 1 - e) - (1 \cdot 0 - 1) \)

\( = (e - e) - (0 - 1) = 1 \)