matematik dönüşüm (öteleme-dönme) nasıl yapılır

Question

Hocam, matematik dersinde öteleme ve dönme gibi dönüşümleri yaparken çok zorlanıyorum. Özellikle bir şekli önce öteleyip sonra döndürmem gerekirse, hangi sırayla yapacağımı karıştırıyorum ve sonuç hep yanlış çıkıyor. Bu konuda bana yardımcı olabilir misiniz?

Answer 1

📐 Matematiksel Dönüşümler: Öteleme ve Dönme Sanatı

Matematiksel dönüşümler, nesnelerin veya şekillerin uzaydaki konumunu veya yönünü değiştiren işlemlerdir. Bu dönüşümler, bilgisayar grafikleri, robotik, fizik ve mühendislik gibi birçok alanda temel bir rol oynar. En yaygın kullanılan dönüşümlerden ikisi öteleme ve dönmedir. Bu yazıda, bu iki temel dönüşümün nasıl yapıldığını adım adım inceleyeceğiz.

➡️ Öteleme (Translation)

Öteleme, bir nesneyi belirli bir yönde ve belirli bir mesafede hareket ettirme işlemidir. Başka bir deyişle, nesnenin şeklini veya boyutunu değiştirmeden sadece yerini değiştiririz.

• 📍 Vektör Gösterimi: Öteleme genellikle bir vektör ile ifade edilir. Bu vektör, nesnenin hangi yönde ve ne kadar hareket edeceğini belirtir. Örneğin, (3, -2) vektörü, nesnenin x ekseninde 3 birim sağa ve y ekseninde 2 birim aşağı hareket edeceğini gösterir.
• ➕ Koordinat Düzleminde Öteleme: Bir (x, y) noktasını (a, b) vektörü ile ötelemek için, yeni koordinatlar (x + a, y + b) şeklinde bulunur.

Örnek:

Bir A(2, 3) noktasını (4, -1) vektörü ile öteleyelim.

Yeni koordinatlar: A'(2 + 4, 3 - 1) = A'(6, 2)

🔄 Dönme (Rotation)

Dönme, bir nesneyi belirli bir nokta etrafında belirli bir açıyla döndürme işlemidir. Bu nokta genellikle dönme merkezi olarak adlandırılır. Dönme yönü saat yönünde veya saat yönünün tersi olabilir.

• 📐 Açı Gösterimi: Dönme genellikle bir açı ile ifade edilir. Bu açı, nesnenin ne kadar döndürüleceğini belirtir. Açı birimi genellikle derece veya radyan cinsindendir.
• ✍️ Koordinat Düzleminde Dönme: Bir (x, y) noktasını orijin (0, 0) etrafında θ açısıyla döndürmek için aşağıdaki formüller kullanılır:
• 🔷 x' = x * cos(θ) - y * sin(θ)
• 🔶 y' = x * sin(θ) + y * cos(θ)

Örnek:

Bir B(1, 0) noktasını orijin etrafında 90 derece döndürelim.

θ = 90 derece = π/2 radyan

x' = 1 * cos(π/2) - 0 * sin(π/2) = 0

y' = 1 * sin(π/2) + 0 * cos(π/2) = 1

Yeni koordinatlar: B'(0, 1)

💡 Öteleme ve Dönmenin Kombinasyonu

Çoğu zaman, nesneleri hem ötelemek hem de döndürmek gerekebilir. Bu durumda, dönüşümleri sırayla uygulamak önemlidir. Genellikle, önce dönme işlemi yapılır, ardından öteleme işlemi uygulanır. Bu sıraya uyulmaması, istenmeyen sonuçlara yol açabilir.

Örnek:

Bir C(2, 1) noktasını önce orijin etrafında 45 derece döndürelim, ardından (1, 2) vektörü ile öteleyelim.

1. Dönme:

θ = 45 derece = π/4 radyan

x' = 2 * cos(π/4) - 1 * sin(π/4) = 2 * (√2/2) - 1 * (√2/2) = √2/2

y' = 2 * sin(π/4) + 1 * cos(π/4) = 2 * (√2/2) + 1 * (√2/2) = 3√2/2

Dönme sonrası koordinatlar: C'(√2/2, 3√2/2)

2. Öteleme:

x'' = √2/2 + 1

y'' = 3√2/2 + 2

Öteleme sonrası koordinatlar: C''(√2/2 + 1, 3√2/2 + 2)

Bu şekilde, öteleme ve dönme işlemlerini birleştirerek daha karmaşık dönüşümler elde edebiliriz.