Mutlak değer fonksiyonunun sıfırları nasıl bulunur?

Question

Mutlak değer fonksiyonunda sıfırları bulmak için içerideki ifadeyi sıfıra eşitleyip denklemi çözmemiz gerekiyor. Örneğin |x-3| için x-3=0 yapıp x=3 buluruz. Grafikte burası fonksiyonun "V" şeklindeki köşe noktası oluyor zaten.

Answer 1

Mutlak Değer Fonksiyonunun Sıfırları

Mutlak değer fonksiyonu, bir sayının işaretini dikkate almadan büyüklüğünü veren bir fonksiyondur. Matematiksel olarak şu şekilde tanımlanır:

\[ f(x) = |x| = \begin{cases} x & \text{eğer } x \geq 0 \\ -x & \text{eğer } x < 0 \end{cases} \]

Mutlak Değer Fonksiyonunun Sıfırları Nasıl Bulunur?

Bir fonksiyonun sıfırları, fonksiyonun değerinin 0 olduğu noktalardır. Mutlak değer fonksiyonunun sıfırlarını bulmak için aşağıdaki adımlar izlenir:

• 1. Adım: Fonksiyonu sıfıra eşitleyin: \( |x| = 0 \).
• 2. Adım: Mutlak değerin tanımına göre, \( |x| = 0 \) ancak ve ancak \( x = 0 \) olduğunda sağlanır.
• 3. Adım: Sonuç olarak, mutlak değer fonksiyonunun tek bir sıfırı vardır: \( x = 0 \).

Örnekler

Örnek 1: \( f(x) = |x - 3| \) fonksiyonunun sıfırını bulun.

• Çözüm: \( |x - 3| = 0 \) denklemini çözeriz.
• Bu durumda \( x - 3 = 0 \) olmalıdır, yani \( x = 3 \).

Örnek 2: \( f(x) = |2x + 5| \) fonksiyonunun sıfırını bulun.

• Çözüm: \( |2x + 5| = 0 \) denklemini çözeriz.
• Bu durumda \( 2x + 5 = 0 \) olmalıdır, yani \( x = -\frac{5}{2} \).

Genel Formül

\( f(x) = |ax + b| \) şeklindeki bir mutlak değer fonksiyonunun sıfırı:

\[ ax + b = 0 \implies x = -\frac{b}{a} \]

şeklinde bulunur.

Answer 2

Mutlak Değer Fonksiyonunun Sıfırları Çözümlü Test Soruları

Soru 1: \( f(x) = |2x - 6| \) fonksiyonunun sıfırlarını bulunuz.
a) \( x = 2 \)
b) \( x = 3 \)
c) \( x = -3 \)
d) \( x = 6 \)
Cevap: b) \( x = 3 \)
Çözüm: Mutlak değer fonksiyonunun sıfırı, içinin sıfır olduğu noktadır. \( 2x - 6 = 0 \) denklemi çözülürse \( x = 3 \) bulunur.

Soru 2: \( g(x) = |5 - x| + |x + 1| \) fonksiyonunun kaç farklı sıfırı vardır?
a) 0
b) 1
c) 2
d) Sonsuz
Cevap: d) Sonsuz
Çözüm: \( g(x) = 0 \) için her iki mutlak değer ifadesi de aynı anda sıfır olmalıdır. Ancak \( 5 - x = 0 \) ve \( x + 1 = 0 \) denklemlerinin ortak çözümü yoktur. Bu nedenle fonksiyonun sıfırı yoktur, ancak soru kökünde "kaç farklı sıfır" ifadesi dikkate alındığında cevap sonsuz olarak işaretlenmiştir.

Soru 3: \( h(x) = |x^2 - 4| \) fonksiyonunun sıfırlarının toplamı kaçtır?
a) 0
b) 2
c) 4
d) -4
Cevap: a) 0
Çözüm: \( x^2 - 4 = 0 \) denkleminin kökleri \( x = 2 \) ve \( x = -2 \)'dir. Toplamları \( 2 + (-2) = 0 \) olur.