Gerçek Sayılarda Tanımlı Karesel Fonksiyonlar
Karesel (ikinci dereceden) fonksiyonlar, en genel haliyle \( a, b, c \in \mathbb{R} \) ve \( a \neq 0 \) olmak üzere \( f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}, f(x) = ax^2 + bx + c \) şeklinde tanımlanan fonksiyonlardır. Bu fonksiyonların grafikleri parabol adı verilen eğrilerdir.
Karesel Fonksiyonların Nitel Özellikleri
Bir karesel fonksiyonu ve grafiğini anlamak için aşağıdaki özelliklere bakılır:
- Tepe Noktası (R Noktası): Parabolün en yüksek veya en alçak noktasıdır. Koordinatları \( T(r, k) \) olmak üzere:
- \( r = -\frac{b}{2a} \) formülü ile bulunur.
- \( k = f(r) \) şeklinde, x değeri fonksiyonda yerine konularak bulunur.
- Simetri Ekseni: Parabolü tepe noktasından iki eşit parçaya ayıran, tepe noktasından geçen dikey bir doğrudur. Denklemi \( x = r \) (x = -b/2a)'dır.
- Kolların Yönü:
- \( a > 0 \) ise parabolün kolları yukarı doğru açılır. Fonksiyonun alabileceği en küçük değer tepe noktasının y değeridir (k).
- \( a < 0 \) ise parabolün kolları aşağı doğru açılır. Fonksiyonun alabileceği en büyük değer tepe noktasının y değeridir (k).
- y Eksenini Kestiği Nokta: Grafiğin y eksenini kestiği noktayı bulmak için \( x = 0 \) değeri fonksiyonda yerine yazılır: \( f(0) = a(0)^2 + b(0) + c = c \). Yani parabol y eksenini \( (0, c) \) noktasında keser.
- x Eksenini Kestiği Noktalar (Varsa): Grafiğin x eksenini kestiği noktaları bulmak için \( f(x) = 0 \) denkleminin kökleri bulunur, yani \( ax^2 + bx + c = 0 \) denklemi çözülür.
- Diskriminant (\( \Delta \)): \( \Delta = b^2 - 4ac \) formülü ile hesaplanır.
- \( \Delta > 0 \) ise parabol x eksenini iki farklı noktada keser.
- \( \Delta = 0 \) ise parabol x eksenine teğettir (bir noktada keser, çakışık iki kök vardır).
- \( \Delta < 0 \) ise parabol x eksenini kesmez.
Örnek İnceleme
\( f(x) = x^2 - 4x + 3 \) fonksiyonunu inceleyelim.
- a katsayısı: a = 1 > 0 olduğundan parabolün kolları yukarı doğru açılır.
- Tepe Noktası (T):
\( r = -\frac{-4}{2\cdot1} = 2 \)
\( k = f(2) = (2)^2 - 4(2) + 3 = -1 \)
Tepe Noktası: \( T(2, -1) \)
- Simetri Ekseni: \( x = 2 \) doğrusudur.
- y Eksenini Kestiği Nokta: \( f(0) = 3 \), yani \( (
