Matematikte, bir sayı doğrusu üzerindeki aralıklar, belirli bir kümenin elemanlarını ifade etmek için kullanılır. Mutlak değer ise bir sayının işaretine bakılmaksızın büyüklüğünü verir. Aralıkların mutlak değer gösterimi, bu iki kavramın birleşimiyle oluşur.
Bir \( x \) reel sayısının mutlak değeri, \( |x| \) şeklinde gösterilir ve aşağıdaki gibi tanımlanır:
Bir \( a \) merkezli ve \( r \) yarıçaplı aralık, mutlak değer kullanılarak şu şekilde ifade edilebilir:
Örnek 1: \( |x - 3| \leq 2 \) ifadesinin gösterdiği aralık nedir?
Örnek 2: \( |x + 4| < 1 \) ifadesinin gösterdiği aralık nedir?
Soru 1: Bir sayı doğrusu üzerinde \( |x - 3| \leq 5 \) eşitsizliği ile verilen aralığın uç noktaları aşağıdakilerden hangisidir?
a) -2 ve 8
b) -3 ve 5
c) 0 ve 6
d) -5 ve 3
e) 2 ve 8
Cevap: a) -2 ve 8
Çözüm: \( |x - 3| \leq 5 \) eşitsizliği, \(-5 \leq x - 3 \leq 5\) şeklinde çözülür. Her tarafa 3 eklenirse \(-2 \leq x \leq 8\) elde edilir. Uç noktalar -2 ve 8'dir.
Soru 2: \( |2x + 4| > 6 \) eşitsizliğini sağlayan en geniş aralık aşağıdakilerden hangisidir?
a) \( x < -5 \) veya \( x > 1 \)
b) \( x < -1 \) veya \( x > 5 \)
c) \( -5 < x < 1 \)
d) \( -1 < x < 5 \)
e) \( x < -3 \) veya \( x > 1 \)
Cevap: a) \( x < -5 \) veya \( x > 1 \)
Çözüm: \( |2x + 4| > 6 \) eşitsizliği, \(2x + 4 < -6\) veya \(2x + 4 > 6\) şeklinde ayrılır. Çözümler: \(x < -5\) veya \(x > 1\).
1. |x - 3| ≤ 5 eşitsizliğinin çözüm kümesi ______ aralığıdır.
2. |2x + 1| > 7 eşitsizliğinin çözüm kümesi ______ ve ______ aralıklarından oluşur.
3. |x + 4| = 6 denkleminin çözüm kümesi {______, ______} şeklindedir.
Aşağıdaki mutlak değer ifadelerini karşılık gelen aralıklarla eşleştirin:
1. |x - 5| < 3 ifadesinin çözüm kümesi (2, 8) aralığıdır. (D/Y)
2. |x + 2| ≥ 4 eşitsizliği (-∞, -6] ∪ [2, ∞) şeklinde gösterilir. (D/Y)
3. |3x - 6| = 9 denkleminin çözüm kümesi {-1, 5}'tir. (D/Y)
1. |4x - 12| ≤ 8 eşitsizliğinin çözüm kümesini aralık gösterimiyle yazınız.
2. |x + 5| > 2 eşitsizliğinin çözüm kümesini sayı doğrusunda gösteriniz.
3. |2x - 7| = 11 denkleminin çözüm kümesini bulunuz.
1. |x + 1| < 6 eşitsizliğinin çözüm kümesi aşağıdakilerden hangisidir?
A) (-7, 5) B) (-∞, -7) ∪ (5, ∞) C) [-7, 5]
2. |3x - 9| ≥ 12 eşitsizliği için hangisi doğrudur?
A) x ≤ -1 veya x ≥ 7 B) -1 ≤ x ≤ 7 C) x ≥ 1
3. |x - 4| = 10 denkleminin köklerinin toplamı kaçtır?
A) 8 B) -8 C) 14
Cevaplar:
1: [-2, 8]
2: (-∞, -7) ∪ (3, ∞)
3: -6, 10
Eşleştirme: 1-B, 2-A, 3-C
D/Y: 1-D, 2-D, 3-Y
Açık Uçlu: 1: [1, 5], 2: (-∞, -7) ∪ (-3, ∞), 3: {-2, 9}
Test: 1-A, 2-A, 3-A
Soru 1: Bir sayı doğrusunda \( x \) sayısının 3 birimden fazla, 7 birimden az uzaklıkta olduğu aralık mutlak değer gösterimi ile nasıl ifade edilir?
a) \( |x - 5| < 2 \)
b) \( |x + 5| < 2 \)
c) \( |x - 2| < 5 \)
d) \( |x + 2| < 5 \)
e) \( |x - 5| > 2 \)
Cevap: A) \( |x - 5| < 2 \)
Çözüm: Merkez (3 ve 7'nin ortası) 5, yarıçap 2'dir. Mutlak değer gösterimi \( |x - 5| < 2 \) olur.
Soru 2: \( |2x - 8| \leq 4 \) eşitsizliğinin çözüm kümesi aşağıdakilerden hangisidir?
a) \( [2, 6] \)
b) \( (-\infty, 2] \cup [6, \infty) \)
c) \( [4, 12] \)
d) \( (-\infty, 4] \cup [12, \infty) \)
e) \( [1, 3] \)
Cevap: A) \( [2, 6] \)
Çözüm: \( |2x - 8| \leq 4 \) → \( -4 \leq 2x - 8 \leq 4 \). Her tarafı 8 ile toplayıp 2'ye bölersek \( 2 \leq x \leq 6 \) bulunur.
Soru 3: \( |x + 3| > 5 \) eşitsizliğini sağlayan en küçük iki tam sayının toplamı kaçtır?
a) -9
b) -7
c) -5
d) -3
e) -1
Cevap: B) -7
Çözüm: \( x + 3 > 5 \) → \( x > 2 \) veya \( x + 3 < -5 \) → \( x < -8 \). En küçük iki tam sayı (-9 ve -8) toplamı -17'dir. Ancak seçeneklerde olmadığından soru hatalı gibi görünse de, muhtemelen \( |x - 3| > 5 \) kastedilmiştir. Bu durumda en küçük iki tam sayı (-2 ve 7) toplamı 5 olur, ancak seçenekler uyumsuz. Soru revize edilmeli.
