10. Sınıf Üçgende Alan soruları ve çözümleri

Question

Bu konuda özellikle kenar uzunlukları ve açı bilgilerini kullanarak alan bulma sorularında zorlanıyorum. Hangi formülü nerede kullanacağımı karıştırıyorum. Özellikle sinüs alan formülü ile standart yükseklik formülü arasındaki farkı tam anlayamadım.

Answer 1

10. Sınıf Üçgende Alan Çözümlü Test Soruları

Soru 1: Bir ABC üçgeninde |AB| = 12 cm, |AC| = 8 cm ve m(∠A) = 60° dir. Buna göre ABC üçgeninin alanı kaç cm²'dir?
a) 24√3   b) 32   c) 36   d) 48   e) 48√3
Cevap: a) 24√3
Çözüm: Üçgende alan formülü: Alan = (1/2)·a·b·sinC. Burada a = 12, b = 8 ve C = 60° olduğundan, Alan = (1/2)·12·8·sin60° = 48·(√3/2) = 24√3 cm² bulunur.

Soru 2: Çevresi 30 cm olan bir eşkenar üçgenin alanı kaç cm²'dir?
a) 25√3   b) 30√3   c) 36√3   d) 40√3   e) 50√3
Cevap: a) 25√3
Çözüm: Eşkenar üçgenin bir kenarı 30/3 = 10 cm'dir. Eşkenar üçgenin alan formülü: (a²√3)/4 = (100√3)/4 = 25√3 cm² bulunur.

Soru 3: Bir ABC üçgeninde [AB] ⊥ [AC], |AB| = 6 cm ve |BC| = 10 cm'dir. Buna göre ABC üçgeninin alanı kaç cm²'dir?
a) 24   b) 28   c) 30   d) 32   e) 36
Cevap: a) 24
Çözüm: Üçgen dik üçgen olduğundan Pisagor bağıntısı ile |AC| = √(10² - 6²) = √64 = 8 cm bulunur. Dik üçgenin alanı = (dik kenarların çarpımı)/2 = (6·8)/2 = 24 cm²'dir.

Soru 4: Bir ABC üçgeninin kenar uzunlukları a = 7 cm, b = 8 cm, c = 9 cm'dir. Bu üçgenin alanı kaç cm²'dir?
a) 12√5   b) 15√3   c) 18√2   d) 20√2   e) 24√3
Cevap: a) 12√5
Çözüm: Üç kenarı bilinen üçgenin alanı için Heron formülü kullanılır. u = (7+8+9)/2 = 12 cm. Alan = √[u(u-a)(u-b)(u-c)] = √[12·5·4·3] = √720 = 12√5 cm² bulunur.

Answer 2

Üçgende Alan Formülleri

Bir üçgenin alanını hesaplamak için birkaç farklı formül kullanabiliriz. Bunlar, bize verilen bilgilere göre değişiklik gösterir.

• 1. Taban ve Yükseklik Formülü: Bu, en temel alan formülüdür.

  Bir üçgende herhangi bir kenar taban kabul edilir. O kenara ait yükseklik, karşı köşeden tabana (veya tabanın uzantısına) çizilen dik doğru parçasıdır.

  Alan = \( \frac{1}{2} \) x (Taban Uzunluğu) x (O Taba Ait Yükseklik)

  Kısaca: \( A = \frac{1}{2} \cdot a \cdot h_a \)

• 2. İki Kenar ve Arasındaki Açı Formülü: Eğer iki kenarın uzunluğu ve bu kenarlar arasındaki açının ölçüsü biliniyorsa bu formül kullanılır.

  Alan = \( \frac{1}{2} \) x (Birinci Kenar) x (İkinci Kenar) x (Aralarındaki Açının Sinüsü)

  Kısaca: \( A = \frac{1}{2} \cdot a \cdot b \cdot \sin(C) \)

• 3. Çevre ve İç Teğet Çember Yarıçapı (u ve r) Formülü: Üçgenin tüm kenar uzunlukları biliniyorsa ve iç teğet çemberin yarıçapı verilmişse bu formül kullanılır.

  Çevrenin yarısına \( u \) dersek: \( u = \frac{a + b + c}{2} \)

  Alan = \( u \) x (İç Teğet Çemberin Yarıçapı)

  Kısaca: \( A = u \cdot r \)

• 4. Heron Formülü: Sadece üç kenarın uzunluğu biliniyorsa bu formül kullanılır.

  Yine çevrenin yarısını \( u \) olarak alıyoruz: \( u = \frac{a + b + c}{2} \)

  Alan = \( \sqrt{u \cdot (u - a) \cdot (u - b) \cdot (u - c)} \)

Örnek Soru 1 (Taban-Yükseklik)

Soru: Taban uzunluğu 10 cm ve bu tabana ait yüksekliği 6 cm olan bir üçgenin alanı kaç cm²'dir?

Çözüm:

Alan = \( \frac{1}{2} \) x Taban x Yükseklik

Alan = \( \frac{1}{2} \) x 10 cm x 6 cm

Alan = \( \frac{1}{2} \) x 60 cm²

Alan = 30 cm²

Örnek Soru 2 (İki Kenar ve Açı)

Soru: Kenar uzunlukları 8 cm ve 12 cm olan bir üçgende bu kenarlar arasındaki açı 30° ise üçgenin alanı kaç cm²'dir? (sin30° = 0,5)

Çözüm:

Alan = \( \frac{1}{2} \) x (Birinci Kenar) x (İkinci Kenar) x sin(Açı)

Alan = \( \frac{1}{2} \) x 8 cm x 12 cm x sin30°

Alan = \( \frac{1}{2} \) x 8 cm x 12 cm x 0,5

Alan = \( \frac{1}{2} \) x 48 cm² x 0,5

Alan = \( \frac{1}{2} \) x 24 cm²

Alan = 12 cm²

Örnek Soru 3 (Heron Formülü)

Soru: Kenar uzunlukları 5 cm, 6 cm ve 7 cm olan bir üçgenin alanı kaç cm²'dir?

Çözüm:

Önce \( u \) değerini bulalım: \( u = \frac{5 + 6 + 7}{2} = \frac{18}{2} = 9 \) cm

Heron Formülü: Alan = \( \sqrt{u \cdot (u - a) \cdot (u - b) \cdot (u - c)} \)

Alan = \( \sqrt{9 \cdot (9 - 5) \cdot (9 - 6) \cdot (9 - 7)} \)

Alan = \( \sqrt{9 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2} \)

Alan = \( \sqrt{216} \)

Alan = \( \sqrt{36 \cdot 6} \)

Alan = \( 6\sqrt{6} \) cm²

Çözümlü Örnek 4 (Karma)

Soru: Aşağıdaki ABC üçgeninde |AB| = 8 br, |AC| = 10 br ve sin(A) = 0,6'dır. Buna göre, A(ABC) kaç br²'dir?

Çözüm:

Bu soruda bize iki kenar ve bu kenarlar arasındaki açının sinüsü verilmiş. Bu durumda ikinci formülü kullanacağız.

Alan = \( \frac{1}{2} \) x |AB| x |AC| x sin(A)

Alan = \( \frac{1}{2} \) x 8 x 10 x 0,6

Alan = \( \frac{1}{2} \) x 80 x 0,6

Alan = \( \frac{1}{2} \) x 48

Alan = 24 br²

Önemli Uyarı: Bir soruyu çözmeye başlamadan önce, size hangi bilgilerin verildiğini iyice okuyun. Bu, hangi formülü kullanmanız gerektiğini belirleyecektir. Pratik yaptıkça formülleri daha hızlı ve doğru bir şekilde uygulayacaksınız.