Matematikte bir sayının mutlak değeri, o sayının sayı doğrusu üzerindeki sıfıra olan uzaklığıdır. Mesafe negatif olamayacağından, mutlak değer her zaman pozitif veya sıfırdır. Mutlak değer, |x| şeklinde gösterilir. Örneğin, |3| = 3 ve |-3| = 3'tür.
Mutlak değerin birçok kullanışlı özelliği vardır. Bu özellikler, matematiksel işlemleri basitleştirmemize ve denklemleri çözmemize yardımcı olur.
Herhangi bir gerçek sayı x için, |x| ≥ 0'dır. Yani, bir sayının mutlak değeri asla negatif olamaz.
Herhangi bir gerçek sayı x için, |x| = |-x|'tir. Bu, bir sayının ve onun negatifinin mutlak değerlerinin aynı olduğu anlamına gelir. Örneğin, |5| = |-5| = 5.
İki gerçek sayı x ve y için, |x * y| = |x| * |y|'dir. Bu özellik, çarpma işleminin mutlak değerini ayrı ayrı mutlak değerlerin çarpımı olarak ifade etmemizi sağlar. Örneğin, |2 * -3| = |2| * |-3| = 2 * 3 = 6.
İki gerçek sayı x ve y (y ≠ 0) için, |x / y| = |x| / |y|'dir. Bu özellik, bölme işleminin mutlak değerini ayrı ayrı mutlak değerlerin bölümü olarak ifade etmemizi sağlar. Örneğin, |6 / -2| = |6| / |-2| = 6 / 2 = 3.
İki gerçek sayı x ve y için, |x + y| ≤ |x| + |y|'dir. Bu eşitsizlik, iki sayının toplamının mutlak değerinin, mutlak değerlerinin toplamından küçük veya eşit olduğunu belirtir. Örneğin, |3 + (-2)| = |1| = 1 ≤ |3| + |-2| = 3 + 2 = 5.
Mutlak değerli denklemleri çözerken, mutlak değerin içindeki ifadenin hem pozitif hem de negatif olma durumunu göz önünde bulundurmalıyız.
Örneğin, |x - 2| = 3 denklemini çözelim:
Bu nedenle, denklemin çözümleri x = 5 ve x = -1'dir.
y = |x| fonksiyonunun grafiği, V şeklinde bir doğrudur. Doğrunun tepe noktası orijindedir (0,0). Grafiğin sağ tarafı y = x doğrusuyla aynıdır, sol tarafı ise y = -x doğrusunun y eksenine göre simetriğidir.
Mutlak değer fonksiyonunun grafiği, fonksiyonun simetrik yapısını ve negatif olmama özelliğini görsel olarak gösterir.
