Öteleme nedir (Geometri)

Question

Geometride öteleme, bir şeklin yerinin değişmesi ama şeklin ve boyutlarının aynı kalmasıdır. Sanki şekli olduğu gibi kaydırıyormuşuz gibi düşünebilirim ama döndürmüyor ya da büyütmüyoruz. Özellikle koordinat düzleminde x ve y eksenlerinde kaydırma yaparken kafam karışıyor.

Answer 1

📐 Öteleme (Geometride) Nedir?

Öteleme, bir şeklin yönü, büyüklüğü ve görünümü değişmeden belirli bir yönde ve miktarda kaydırılması işlemidir. Günlük hayatta bir sandalyeyi odanın bir ucundan diğer ucuna taşımak gibi düşünebilirsiniz. Sandalye aynı sandalyedir, sadece konumu değişmiştir. ✨

🎯 Ötelemenin Temel Özellikleri

• ✅ Şeklin Boyutları Değişmez: Ötelemede şekil küçülmez veya büyümez.
• ✅ Şeklin Yönü Değişmez: Şekil döndürülmez, olduğu gibi kaydırılır.
• ✅ Şeklin Görüntüsü Değişmez: Ötelenmiş şekil, orijinal şekille aynıdır (eştir).
• ✅ Bir Vektörle Tanımlanır: Ötelemenin yönü ve miktarı bir vektörle ifade edilir.

🧮 Öteleme Nasıl Yapılır?

Bir şekli ötelemek için her bir noktasını, öteleme vektörü kadar kaydırmamız gerekir. Koordinat sisteminde bu işlem oldukça basittir.

Bir öteleme vektörümüz \(\vec{v} = (a, b)\) olsun. Bu, "x yönünde 'a' birim, y yönünde 'b' birim kaydır" anlamına gelir.

Bir \(A(x, y)\) noktasını \(\vec{v} = (a, b)\) vektörü kadar ötelersek, yeni noktanın koordinatları \(A'(x + a, y + b)\) olur.

📌 Örnek:

Bir \(A(2, 3)\) noktasını \(\vec{v} = (4, -1)\) vektörü kadar öteleyelim.

Yeni noktanın koordinatları:

\(x' = 2 + 4 = 6\)

\(y' = 3 + (-1) = 2\)

Sonuç: \(A'(6, 2)\) olur. ➡️ Nokta sağa 4 birim, aşağı 1 birim kaymıştır.

🔷 Çokgen Öteleme Örneği

Bir üçgenin köşe noktaları \(A(1,1)\), \(B(3,1)\), \(C(2,3)\) olsun. Bu üçgeni \(\vec{v} = (2, 3)\) kadar öteleyelim.

• \(A(1,1)\) noktası: \(A'(1+2, 1+3) = A'(3,4)\)
• \(B(3,1)\) noktası: \(B'(3+2, 1+3) = B'(5,4)\)
• \(C(2,3)\) noktası: \(C'(2+2, 3+3) = C'(4,6)\)

Elde ettiğimiz \(A'\), \(B'\), \(C'\) noktalarını birleştirdiğimizde, orijinal üçgenin aynısı olan, sadece konumu değişmiş yeni bir üçgen elde ederiz. 🎯

💡 Önemli Hatırlatma

Öteleme bir dönüşüm hareketidir ve şeklin her noktası aynı vektör kadar, aynı yönde hareket ettiği için şeklin orijinal hali ile ötelenmiş hali birbirine eştir.