Olasılık AYT: Konu Özetleri, Formüller ve Çözümlü Sorular

Question

Olasılık konusu formüllerle dolu. Hangi formülü nerede kullanacağımı karıştırıyorum. Bir de çözümlü sorular olsa, nasıl uygulandığını görsem çok iyi olur.

Answer 1

🎲 Olasılık Nedir?

Olasılık, bir şeyin olma veya olmama ihtimalini hesaplamamıza yarayan bir konudur. Günlük hayatta "yarın yağmur yağma olasılığı", "sınavı geçme olasılığım" gibi tahminler yaparken olasılığı kullanırız.

• 🔮 Olasılık: Bir olayın gerçekleşme şansının sayısal ifadesidir.
• 🎯 Deney: Sonuçları önceden bilinen, ancak hangi sonucun gerçekleşeceği kesin olmayan işlemlerdir. Örneğin, zar atmak bir deneydir.
• 🌱 Örnek Uzay (E): Bir deneyin bütün olası sonuçlarının kümesidir. Örneğin, bir zar atıldığında örnek uzay E = {1, 2, 3, 4, 5, 6}'dır.
• ✨ Olay (A): Örnek uzayın bir alt kümesidir. Örneğin, zar atıldığında "tek sayı gelmesi" bir olaydır: A = {1, 3, 5}.

🧮 Olasılık Formülleri

Olasılık hesaplarken bazı temel formülleri bilmek işimizi kolaylaştırır.

• 💯 Temel Olasılık Formülü: Bir olayın olasılığı, o olayın eleman sayısının örnek uzayın eleman sayısına oranıdır.
  $P(A) = \frac{s(A)}{s(E)}$
  Burada;
  P(A): A olayının olasılığı
  s(A): A olayının eleman sayısı
  s(E): Örnek uzayın eleman sayısı
• ➕ Birleşim Olasılığı: İki olayın birleşiminin olasılığı:
  $P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B)$
• ➖ Ayrık Olaylar: Eğer iki olayın kesişimi boş küme ise (yani ortak elemanları yoksa), bu olaylara ayrık olaylar denir ve birleşimlerinin olasılığı:
  $P(A \cup B) = P(A) + P(B)$
• 🤝 Bağımlı Olaylar: Bir olayın gerçekleşmesi diğer olayın olasılığını etkiliyorsa, bu olaylara bağımlı olaylar denir.
• 🚀 Bağımsız Olaylar: Bir olayın gerçekleşmesi diğer olayın olasılığını etkilemiyorsa, bu olaylara bağımsız olaylar denir. Bağımsız olayların birlikte gerçekleşme olasılığı:
  $P(A \cap B) = P(A) * P(B)$

❓ Çözümlü Sorular

✔️ Soru 1

İki zar atılıyor. Üst yüze gelen sayıların toplamının 7 olma olasılığı kaçtır?

Çözüm:

Örnek uzay E = {(1,1), (1,2), ..., (6,6)} ve s(E) = 36'dır. Toplamı 7 olan olaylar A = {(1,6), (2,5), (3,4), (4,3), (5,2), (6,1)} ve s(A) = 6'dır.
Bu durumda, $P(A) = \frac{s(A)}{s(E)} = \frac{6}{36} = \frac{1}{6}$'dır.

✔️ Soru 2

Bir torbada 3 kırmızı, 4 beyaz ve 2 mavi bilye vardır. Torbadan rastgele iki bilye çekiliyor. Çekilen bilyelerin aynı renkte olma olasılığı kaçtır?

Çözüm:

Toplam bilye sayısı 3 + 4 + 2 = 9'dur. İki bilyenin aynı renkte olması için iki kırmızı, iki beyaz veya iki mavi olması gerekir.
İki kırmızı çekme olasılığı: $\frac{3}{9} * \frac{2}{8} = \frac{6}{72}$
İki beyaz çekme olasılığı: $\frac{4}{9} * \frac{3}{8} = \frac{12}{72}$
İki mavi çekme olasılığı: $\frac{2}{9} * \frac{1}{8} = \frac{2}{72}$
Toplam olasılık: $\frac{6}{72} + \frac{12}{72} + \frac{2}{72} = \frac{20}{72} = \frac{5}{18}$'dir.

✔️ Soru 3

Bir madeni para art arda 3 kez atılıyor. En az iki kez tura gelme olasılığı nedir?

Çözüm:

Örnek uzay E = {TTT, TTY, TYT, YTT, TYY, YTY, YYT, YYY} ve s(E) = 8'dir. En az iki tura gelme olayları A = {TTT, TTY, TYT, YTT} ve s(A) = 4'tür.
Bu durumda, $P(A) = \frac{s(A)}{s(E)} = \frac{4}{8} = \frac{1}{2}$'dir.