📊 Parabol Nedir?
Parabol, ikinci dereceden bir fonksiyonun grafiğine verilen isimdir. Genel olarak \( f(x) = ax^2 + bx + c \)** şeklinde ifade edilir. Burada a, b, c birer gerçek sayıdır ve a ≠ 0 olmalıdır. Eğer a = 0 olursa, bu bir doğrusal fonksiyon (lineer fonksiyon) olur.
🎯 Parabolün Temel Özellikleri
- 📈 Kolların Yönü: a > 0 ise parabolün kolları yukarı doğru (∪ şeklinde), a < 0 ise aşağı doğrudur (∩ şeklinde).
- 📍 Tepe Noktası (Vertex): Parabolün en yüksek veya en düşük noktasıdır. Formülü: \( T(r, k) = \left( -\frac{b}{2a}, f(-\frac{b}{2a}) \right) \)**
- ✂️ Eksenleri Kestiği Noktalar:
- x Eksenini Kestiği Noktalar: Denklemin diskriminantı (\( \Delta = b^2 - 4ac \)) ile bulunur.
- y Eksenini Kestiği Nokta: \( x = 0 \) konulduğunda \( y = c \) olur. Yani (0, c) noktasıdır.
- 🪞 Simetri Ekseni: Parabol, tepe noktasından geçen düşey bir doğruya göre simetriktir. Bu doğrunun denklemi \( x = -\frac{b}{2a} \)** şeklindedir.
🧮 Diskriminant (\( \Delta \)) ve Anlamı
İkinci dereceden denklemlerde kökleri bulmamızı sağlayan ifadeye diskriminant denir ve \( \Delta = b^2 - 4ac \)** formülü ile hesaplanır.
- ✅ \( \Delta > 0 \)** ise, parabol x eksenini iki farklı noktada keser.
- 🟡 \( \Delta = 0 \)** ise, parabol x eksenine teğettir (bir noktada keser, çakışık iki kök vardır).
- ❌ \( \Delta < 0 \)** ise, parabol x eksenini kesmez.
📝 Grafik Çizimi Adımları
Bir parabolün grafiğini çizmek için şu adımları izleyebilirsin:
- 🎯 Kolların Yönünü Belirle: a katsayısının işaretine bak.
- 📍 Tepe Noktasını Bul: \( r = -\frac{b}{2a} \) ve \( k = f(r) \) formüllerini kullan.
- ✂️ Eksen Kesişim Noktalarını Hesapla:
- y Eksenini Kestiği Nokta: (0, c)
- x Eksenini Kestiği Noktalar: \( ax^2 + bx + c = 0 \) denklemini çöz.
- 🪞 Simetri Eksenini Çiz: \( x = r \) doğrusu.
- 📈 Noktaları Birleştir: Bulduğun noktaları bir eğri ile birleştir.
💡 Örnek Soru ve Çözüm
\( f(x) = x^2 - 4x + 3 \)** fonksiyonunun grafiğini çiziniz.
Çözüm:
- ✅ Kolların Yönü: a = 1 > 0 olduğundan kollar yukarı doğrudur.
- 📍 Tepe Noktası:
\( r = -\frac{-4}{2 \cdot 1} = 2 \)
\( k = f(2) = (2)^2 - 4 \cdot 2 + 3 = 4 - 8 + 3 = -1 \)
Tepe Noktası: \( T(2, -1) \)
- ✂️ Eksen Kesişimleri:
- y Ekseni: x=0 için, y = 3 → (0, 3)
- x Ekseni: \( x^2 - 4x + 3 = 0 \) denklemini çözelim.
\( (x-1)(x-3) = 0 \) → \( x_1 = 1 \), \( x_2 = 3 \)
Yani (1, 0) ve (3, 0) noktalarında keser.
- 🪞 Simetri Ekseni: x = 2 doğrusu.
Bu bilgilerle parabol aşağıdaki gibi çizilir:
(Burada bir grafik çizimi hayal edin. Tepe noktası (2, -1), y eksenini (0,3)'te, x eksenini (1,0) ve (3,0)'da kesen, kolları yukarı doğru bir U şekli.)
