📊 Parçalı Fonksiyonların Limiti
Bir parçalı fonksiyonun limitini bulmak, fonksiyonun farklı aralıklarda farklı kurallarla tanımlanmış olması nedeniyle özel bir dikkat gerektirir. Bu tür fonksiyonlarda limit, özellikle fonksiyonun kuralının değiştiği noktalarda ilginç durumlar ortaya çıkarabilir.
🎯 Temel Mantık
Bir parçalı fonksiyonun bir noktadaki limitini bulmak için, o noktaya hem soldan hem de sağdan yaklaşırız ve bu yaklaşımın hangi fonksiyon kuralına denk geldiğine bakarız.
- ✅ Soldan Limit: \( x \) değeri, belirli bir \( a \) noktasına soldan yaklaşırken hangi fonksiyon kuralının geçerli olduğuna bakarız.
- ✅ Sağdan Limit: \( x \) değeri, belirli bir \( a \) noktasına sağdan yaklaşırken hangi fonksiyon kuralının geçerli olduğuna bakarız.
- ✅ Limitin Var Olma Şartı: Bir noktada limitin var olması için sol limit ve sağ limitin birbirine eşit olması gerekir.
🔍 Örnek İnceleme
Aşağıdaki parçalı fonksiyonu ele alalım:
\( f(x) = \begin{cases}
x + 2, & x < 1 \\
3x - 1, & x \geq 1
\end{cases} \)
Bu fonksiyonun \( x = 1 \) noktasındaki limitini inceleyelim:
- 📌 Soldan Limit (\( \lim_{x \to 1^-} f(x) \)): \( x < 1 \) olduğu için \( f(x) = x + 2 \) kuralını kullanırız:
\( \lim_{x \to 1^-} f(x) = \lim_{x \to 1^-} (x + 2) = 1 + 2 = 3 \)
- 📌 Sağdan Limit (\( \lim_{x \to 1^+} f(x) \)): \( x \geq 1 \) olduğu için \( f(x) = 3x - 1 \) kuralını kullanırız:
\( \lim_{x \to 1^+} f(x) = \lim_{x \to 1^+} (3x - 1) = 3(1) - 1 = 2 \)
Bu durumda:
- ➡️ Soldan limit: 3
- ➡️ Sağdan limit: 2
Sol limit ve sağ limit birbirine eşit olmadığı için, \( \lim_{x \to 1} f(x) \) yoktur.
💡 İkinci Örnek
Şimdi başka bir fonksiyon inceleyelim:
\( g(x) = \begin{cases}
x^2, & x \leq 2 \\
4, & x > 2
\end{cases} \)
Bu fonksiyonun \( x = 2 \) noktasındaki limitini bulalım:
- 📌 Soldan Limit: \( x \leq 2 \) olduğu için \( g(x) = x^2 \) kuralını kullanırız:
\( \lim_{x \to 2^-} g(x) = \lim_{x \to 2^-} x^2 = 2^2 = 4 \)
- 📌 Sağdan Limit: \( x > 2 \) olduğu için \( g(x) = 4 \) kuralını kullanırız:
\( \lim_{x \to 2^+} g(x) = \lim_{x \to 2^+} 4 = 4 \)
Bu durumda:
- ➡️ Soldan limit: 4
- ➡️ Sağdan limit: 4
Sol limit ve sağ limit birbirine eşit olduğu için, \( \lim_{x \to 2} g(x) = 4 \) olarak bulunur.
📝 Özet
- 🎯 Parçalı fonksiyonlarda limit bulurken, ilgili noktaya hem soldan hem sağdan yaklaşmalıyız.
- 🎯 Her bir yaklaşım için doğru fonksiyon kuralını kullanmalıyız.
- 🎯 Limitin var olması için sol ve sağ limitlerin eşit olması gerekir.
- 🎯 Eğer sol ve sağ limitler eşit değilse, o noktada limit yoktur.
