Polinomlarda bölme işlemi

Question

Polinom bölme işleminde bölünen ve bölen polinomları yazarken en yüksek dereceli terimden başlamak gerekiyor ama ben bu sıralamayı karıştırıyorum. Ayrıca kalanın derecesinin bölenin derecesinden küçük olması kuralını uygularken zorlanıyorum. Bu adımları tam olarak nasıl takip edeceğimi anlamadım.

Answer 1

📐 Polinomlarda Bölme İşlemi

Polinomlarda bölme işlemi, tıpkı sayılarda olduğu gibi, bir polinomu başka bir polinoma bölmek anlamına gelir. Bu işlemde bölünen, bölen, bölüm ve kalan olmak üzere dört temel bileşen vardır.

🎯 Temel Tanımlar

• ✨ Bölünen: Üzerinde bölme işlemi yapılan polinom
• ✨ Bölen: Bölme işlemini yaptığımız polinom
• ✨ Bölüm: Bölme işleminin sonucu
• ✨ Kalan: Bölme işleminden artan polinom

📝 Bölme İşlemi Formülü

Polinom bölmesi şu şekilde ifade edilir:

Bölünen = (Bölen × Bölüm) + Kalan

Matematiksel olarak: \( P(x) = Q(x) \cdot B(x) + K(x) \)

Burada \( P(x) \) bölünen, \( Q(x) \) bölen, \( B(x) \) bölüm ve \( K(x) \) kalandır.

🔢 Polinom Bölmesi Nasıl Yapılır?

Polinom bölmesi yapmak için şu adımları izleyebiliriz:

📋 Adım Adım Polinom Bölmesi

1. 📌 Sıralama: Her iki polinomu da azalan derecelere göre sıralayın
2. 📌 İlk terim: Bölünenin ilk terimini bölenin ilk terimine bölün
3. 📌 Çarpma: Bulduğunuz terimi bölenin tüm terimleriyle çarpın
4. 📌 Çıkarma: Bu çarpımı bölünenden çıkarın
5. 📌 Tekrarlama: Yeni oluşan polinomla işlemi tekrarlayın
6. 📌 Bitirme: Kalanın derecesi bölenin derecesinden küçük olana kadar devam edin

🧮 Örnek: \( (2x^3 + 3x^2 - 5x + 2) ÷ (x + 2) \)

Adım 1: \( 2x^3 ÷ x = 2x^2 \)

Adım 2: \( 2x^2 \cdot (x + 2) = 2x^3 + 4x^2 \)

Adım 3: \( (2x^3 + 3x^2 - 5x + 2) - (2x^3 + 4x^2) = -x^2 - 5x + 2 \)

Adım 4: \( -x^2 ÷ x = -x \)

Adım 5: \( -x \cdot (x + 2) = -x^2 - 2x \)

Adım 6: \( (-x^2 - 5x + 2) - (-x^2 - 2x) = -3x + 2 \)

Adım 7: \( -3x ÷ x = -3 \)

Adım 8: \( -3 \cdot (x + 2) = -3x - 6 \)

Adım 9: \( (-3x + 2) - (-3x - 6) = 8 \)

Sonuç: Bölüm = \( 2x^2 - x - 3 \), Kalan = 8

💡 Önemli Kurallar

• ✅ Kalanın derecesi her zaman bölenin derecesinden küçük olmalıdır
• ✅ Eksik terimleri 0 katsayılı terimler olarak yazmak işlemi kolaylaştırır
• ✅ Bölme işlemi sonunda mutlaka sağlama yapılmalıdır

🔍 Sağlama Yapalım

Örneğimizde: \( (x + 2)(2x^2 - x - 3) + 8 = 2x^3 - x^2 - 3x + 4x^2 - 2x - 6 + 8 = 2x^3 + 3x^2 - 5x + 2 \)

Görüldüğü gibi bölünen polinomunu elde ettik! 🎉