polinomlarda işlemler mantığı

Question

Polinomlarla işlem yaparken mantığı bir türlü çözemiyorum. Neden öyle yapıyoruz, kurallar nereden geliyor, anlamakta zorlanıyorum.

Answer 1

➕ Polinomlarda Toplama İşlemi Mantığı

Polinomlarda toplama işlemi, aynı dereceli terimlerin katsayılarını toplamaktan ibarettir. Bu işlemi yaparken dikkat etmemiz gereken en önemli nokta, sadece aynı dereceye sahip terimleri bir araya getirmektir. Farklı derecelere sahip terimler kendi aralarında toplanamazlar.

📝 Adım Adım Toplama İşlemi

• 🍎 Adım 1: Polinomları düzenleyin. Her iki polinomda da aynı dereceli terimlerin alt alta gelmesini sağlayın. Eğer bir polinomda belirli bir dereceye ait terim yoksa, o terimin katsayısını sıfır olarak kabul edebilirsiniz.
• 🍎 Adım 2: Aynı dereceli terimlerin katsayılarını toplayın. Elde ettiğiniz yeni katsayılar, sonuç polinomunuzun katsayıları olacaktır.
• 🍎 Adım 3: Sonuç polinomunu yazın. Topladığınız katsayıları, ilgili derecelere sahip terimlerin önüne yazarak sonuç polinomunu oluşturun.

Örnek:

P(x) = 3x² + 2x - 1

Q(x) = x² - x + 4

Bu iki polinomu toplarken:

(3x² + 2x - 1) + (x² - x + 4) = (3+1)x² + (2-1)x + (-1+4) = 4x² + x + 3

➖ Polinomlarda Çıkarma İşlemi Mantığı

Polinomlarda çıkarma işlemi, toplama işlemine oldukça benzer. Tek fark, çıkarılan polinomun her teriminin işaretini değiştirmemiz ve ardından toplama işlemi yapmamızdır.

📝 Adım Adım Çıkarma İşlemi

• 🍎 Adım 1: Polinomları düzenleyin. Aynı dereceli terimlerin alt alta gelmesini sağlayın.
• 🍎 Adım 2: Çıkarılacak polinomun (yani eksilenin) her teriminin işaretini değiştirin. Pozitif terimler negatif, negatif terimler pozitif olur.
• 🍎 Adım 3: Aynı dereceli terimlerin katsayılarını toplayın (işaretleri değiştirilmiş olanlarla).
• 🍎 Adım 4: Sonuç polinomunu yazın.

Örnek:

P(x) = 5x³ - 2x + 7

Q(x) = 2x³ + x² - 3x + 1

P(x) - Q(x) işlemini yaparken:

(5x³ - 2x + 7) - (2x³ + x² - 3x + 1) = (5x³ - 2x + 7) + (-2x³ - x² + 3x - 1) = (5-2)x³ + (-1)x² + (-2+3)x + (7-1) = 3x³ - x² + x + 6

✖️ Polinomlarda Çarpma İşlemi Mantığı

Polinomlarda çarpma işlemi, her terimi diğer polinomun her terimiyle ayrı ayrı çarpmayı gerektirir. Dağılma özelliği burada kritik bir rol oynar.

📝 Adım Adım Çarpma İşlemi

• 🍎 Adım 1: Birinci polinomun her terimini, ikinci polinomun her terimiyle çarpın.
• 🍎 Adım 2: Elde ettiğiniz terimleri düzenleyin. Aynı dereceli terimleri bir araya getirin ve katsayılarını toplayın.
• 🍎 Adım 3: Sonuç polinomunu yazın.

Örnek:

P(x) = x + 2

Q(x) = x - 3

P(x) * Q(x) işlemini yaparken:

(x + 2)(x - 3) = x * x + x * (-3) + 2 * x + 2 * (-3) = x² - 3x + 2x - 6 = x² - x - 6

➗ Polinomlarda Bölme İşlemi Mantığı

Polinomlarda bölme işlemi, sayılarda yapılan bölme işlemine benzer bir mantığa sahiptir. Ancak, burada bölünen polinomun derecesi, bölen polinomun derecesinden büyük veya eşit olmalıdır.

📝 Adım Adım Bölme İşlemi

• 🍎 Adım 1: Polinomları azalan derecelere göre sıralayın.
• 🍎 Adım 2: Bölünen polinomun en yüksek dereceli terimini, bölen polinomun en yüksek dereceli terimine bölün. Bu, bölümün ilk terimini verir.
• 🍎 Adım 3: Bölümün ilk terimini bölen polinomun tamamıyla çarpın.
• 🍎 Adım 4: Elde ettiğiniz sonucu bölünen polinomdan çıkarın.
• 🍎 Adım 5: Kalan polinomun derecesi, bölen polinomun derecesinden küçük olana kadar 2, 3 ve 4. adımları tekrarlayın.
• 🍎 Adım 6: Kalan polinom, bölme işleminin kalanıdır.

Örnek:

P(x) = x² + 5x + 6

Q(x) = x + 2

P(x) / Q(x) işlemini yaparken:

Bölüm: x + 3

Kalan: 0