Sayı aralıklarında birleşim işlemi nedir (U)

Question

Sayı aralıklarını birleştirirken, bu aralıkların kesişip kesişmediğine bakıyorum. Eğer iki aralık birbiriyle kesişiyorsa veya bitişikse onları tek bir büyük aralıkta birleştirebiliyoruz. Ancak arada boşluk varsa, birleşim işlemi sonucunda bu boşluk da belirtiliyor ve bu kısmı anlamakta zorlanıyorum.

Answer 1

Sayı Aralıklarında Birleşim İşlemi

Matematikte, özellikle kümeler konusunda, birleşim işlemi iki veya daha fazla kümenin tüm elemanlarını içeren yeni bir küme oluşturur. Sayı aralıkları da birer küme olduğu için, bu işlem onlara da uygulanabilir. Birleşim işlemi "∪" sembolü ile gösterilir.

Birleşim İşlemi Nasıl Yapılır?

İki sayı aralığının birleşimi, bu iki aralıktaki en geniş sınırları kapsayan yeni bir aralık veya aralıklar grubudur. Temel mantık, iki aralığın üzerini bir şemsiye gibi örten daha büyük bir aralık bulmaktır. Eğer aralıklar birbiriyle kesişmiyorsa, birleşimleri iki ayrı aralık olarak ifade edilir.

Birleşimi bulmak için şu adımlar izlenebilir:

• Aralıkların başlangıç ve bitiş noktalarını belirleyin.
• Bu noktaların en küçüğünü ve en büyüğünü bulun.
• Ortadaki tüm noktaları kapsayıp kapsamadığını kontrol edin. Eğer arada boşluk yoksa, bu en küçük ve en büyük nokta yeni birleşim aralığınızı verir.

Örneklerle Açıklama

Aşağıdaki örnekleri inceleyelim. Parantezler "(" veya ")" sayıya dahil olmadığını, köşeli parantezler "[" veya "]" sayıya dahil olduğunu gösterir.

Örnek 1: Kesişen Aralıklar

A = [2, 7] ve B = (5, 10] aralıklarını ele alalım.

• A kümesi: 2'den 7'ye kadar olan tüm sayılar (2 ve 7 dahil).
• B kümesi: 5'ten 10'a kadar olan tüm sayılar (5 hariç, 10 dahil).

Bu iki aralığın birleşimi, en küçük sınır (2) ve en büyük sınır (10) arasındaki tüm sayıları kapsar. 2 ile 10 arasında bir boşluk olmadığı için birleşim tek bir aralıktır.

Sonuç: A ∪ B = [2, 10]

Örnek 2: Ayrık Aralıklar

C = [1, 4] ve D = (6, 9) aralıklarını ele alalım.

• C kümesi: 1'den 4'e kadar olan tüm sayılar.
• D kümesi: 6'dan 9'a kadar olan tüm sayılar (6 ve 9 hariç).

Bu iki aralık arasında (4 ile 6 arasında) hiç ortak sayı yoktur. Bu nedenle birleşimleri iki ayrı aralık olarak yazılır.

Sonuç: C ∪ D = [1, 4] ∪ (6, 9)

Örnek 3: İç İçe Geçmiş Aralıklar

E = (3, 8) ve F = [5, 12] aralıklarını ele alalım.

• E kümesi: 3'ten 8'e kadar olan sayılar (3 ve 8 hariç).
• F kümesi: 5'ten 12'ye kadar olan tüm sayılar.

F aralığı, E aralığının bir kısmını tamamen kapsar. Birleşim, en geniş sınırları alarak oluşturulur. En küçük sınır 3, en büyük sınır 12'dir. 3 sayısı E'ye dahil olmadığı için birleşimde de parantez kullanılır.

Sonuç: E ∪ F = (3, 12]

Özet

• Birleşim (∪), verilen tüm aralıklardaki elemanların tamamını içeren kümedir.
• Aralıklar kesişiyor veya iç içeyse, birleşimleri genellikle tek bir aralık olur.
• Aralıklar birbirinden ayrıysa (aralarında boşluk varsa), birleşim "∪" sembolü kullanılarak birden fazla aralık şeklinde yazılır.