Sinüs ve kosinüs teoremi

Question

Bu iki teoremi genellikle karıştırıyorum ve hangi durumda hangisini kullanacağımı tam olarak bilemiyorum. Üçgenin hangi elemanları verildiğinde sinüs teoremi, hangisinde kosinüs teoremi kullanmam gerektiğini anlamakta zorlanıyorum.

Answer 1

Sinüs Teoremi

Bir üçgende kenar uzunlukları ile bu kenarların karşısındaki açıların sinüsleri arasında sabit bir oran vardır. Bu ilişkiyi ifade eden kurala Sinüs Teoremi denir.

Kenar uzunlukları \(a\), \(b\), \(c\) ve bu kenarların karşılarındaki açıların ölçüleri sırasıyla \(\widehat{A}\), \(\widehat{B}\), \(\widehat{C}\) olan bir ABC üçgeninde Sinüs Teoremi şu şekilde yazılır:

\[ \frac{a}{\sin A} = \frac{b}{\sin B} = \frac{c}{\sin C} = 2R \]

Burada \(R\), üçgenin çevrel çemberinin yarıçapıdır.

Sinüs Teoremi Ne İşe Yarar?

• Bir üçgende iki açı ve bir kenar biliniyorsa, diğer kenarlar bulunabilir.
• Bir üçgende iki kenar ve bu kenarlardan birinin karşısındaki açı biliniyorsa, diğer açılar bulunabilir.
• Çevrel çemberin yarıçapı hesaplanabilir.

Kosinüs Teoremi

Bir üçgende bir kenarın uzunluğunun karesi, diğer iki kenarın kareleri toplamından, bu kenarlar ile aralarındaki açının kosinüsünün çarpımının iki katının çıkarılmasına eşittir. Bu kurala Kosinüs Teoremi (veya Kosinüs Kuralı) denir. Pisagor teoreminin genelleştirilmiş halidir.

Kenar uzunlukları \(a\), \(b\), \(c\) olan bir ABC üçgeninde Kosinüs Teoremi'nin formülleri şunlardır:

• \[ a^2 = b^2 + c^2 - 2 \cdot b \cdot c \cdot \cos A \]
• \[ b^2 = a^2 + c^2 - 2 \cdot a \cdot c \cdot \cos B \]
• \[ c^2 = a^2 + b^2 - 2 \cdot a \cdot b \cdot \cos C \]

Kosinüs Teoremi Ne İşe Yarar?

• Bir üçgende iki kenar ve bu kenarlar arasındaki açı biliniyorsa, üçüncü kenar bulunabilir.
• Bir üçgende üç kenar uzunluğu da biliniyorsa, herhangi bir açının ölçüsü bulunabilir.
• Özellikle dik olmayan üçgenlerde problem çözmek için kullanılır.

Özet ve Karşılaştırma

• Sinüs Teoremi, daha çok açı-kenar oranları ve çevrel çember ile ilgili problemlerde kullanılır.
• Kosinüs Teoremi ise bir üçgende kenar uzunluğu hesaplamak veya açı ölçüsü bulmak için kullanılır ve Pisagor teoremine benzer.
• Hangi teoremi kullanacağınıza, elinizdeki verilere bakarak karar verebilirsiniz.

Answer 2

Sinüs ve Kosinüs Teoremi Çözümlü Test Soruları

Soru 1: Bir ABC üçgeninde |AB| = 8 cm, |AC| = 10 cm ve m(∠A) = 60° dir. Buna göre |BC| kenarının uzunluğu kaç cm'dir?
a) 6√2   b) 2√21   c) 4√3   d) 3√7   e) 2√13
Cevap: b) 2√21
Çözüm: Kosinüs teoremi ile: |BC|² = |AB|² + |AC|² - 2·|AB|·|AC|·cos60° = 64 + 100 - 2·8·10·(1/2) = 164 - 80 = 84 → |BC| = √84 = 2√21

Soru 2: Bir ABC üçgeninde |AB| = 6 cm, |BC| = 8 cm ve |AC| = 10 cm'dir. Buna göre cos(∠B) değeri kaçtır?
a) 1/4   b) 1/2   c) 3/4   d) 2/3   e) 3/5
Cevap: a) 1/4
Çözüm: Kosinüs teoremi ile: |AC|² = |AB|² + |BC|² - 2·|AB|·|BC|·cosB → 100 = 36 + 64 - 2·6·8·cosB → 100 = 100 - 96cosB → cosB = 0 → Bu hatalı. Doğrusu: 100 = 36 + 64 - 96cosB → 100 = 100 - 96cosB → 0 = -96cosB → cosB = 0 (Bu da hatalı). Düzeltme: 100 = 36 + 64 - 96cosB → 100 = 100 - 96cosB → 0 = -96cosB → cosB = 0 (Bu üçgen dik üçgen olurdu). Hesaplama: |AC|² = |AB|² + |BC|² kontrolü: 100 = 36 + 64 → 100 = 100 (Dik üçgen). O halde cosB = |AB|/|BC| = 6/8 = 3/4 olmalı. Cevap: c) 3/4

Soru 3: Bir ABC üçgeninde m(∠A) = 45°, m(∠B) = 60° ve |BC| = 6√2 cm'dir. Buna göre |AC| kenarının uzunluğu kaç cm'dir?
a) 8   b) 6√3   c) 9   d) 4√6   e) 12
Cevap: d) 4√6
Çözüm: Sinüs teoremi ile: |AC|/sinB = |BC|/sinA → |AC|/sin60° = 6√2/sin45° → |AC|/(√3/2) = 6√2/(√2/2) → |AC|·(2/√3) = 6√2·(2/√2) → |AC|·(2/√3) = 12 → |AC| = 12·(√3/2) = 6√3