📐 Standart Birim Vektörler Nedir?
Standart birim vektörler, boyutu 1 birim olan ve koordinat eksenleri yönündeki temel vektörlerdir. İki boyutlu uzayda (2D) genellikle i ve j sembolleriyle gösterilirler.
🎯 İki Boyutlu Standart Birim Vektörler
- ➡️ i vektörü: x-ekseni yönünde, boyutu 1 birim
- ⬆️ j vektörü: y-ekseni yönünde, boyutu 1 birim
Matematiksel olarak ifade edersek:
i = \( \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \end{pmatrix} \)
j = \( \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \end{pmatrix} \)
💡 Neden Önemlidirler?
- 📌 Herhangi bir vektörü, bu birim vektörlerin lineer kombinasyonu olarak yazabiliriz
- 📌 Vektörlerin bileşenlerini anlamamızı kolaylaştırırlar
- 📌 Vektör işlemlerini daha sistematik hale getirirler
🔢 Örnek: Bir Vektörü i ve j Cinsinden Yazma
\( \vec{v} = \begin{pmatrix} 3 \\ -2 \end{pmatrix} \) vektörünü ele alalım:
Bu vektörü şu şekilde ifade edebiliriz:
\( \vec{v} = 3\begin{pmatrix} 1 \\ 0 \end{pmatrix} + (-2)\begin{pmatrix} 0 \\ 1 \end{pmatrix} = 3\vec{i} - 2\vec{j} \)
🎲 Üç Boyutlu Uzayda
Üç boyutlu uzayda ise üçüncü bir standart birim vektörümüz daha vardır:
- ➡️ i = \( \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} \) (x-ekseni)
- ⬆️ j = \( \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix} \) (y-ekseni)
- ⬆️ k = \( \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix} \) (z-ekseni)
✨ Özellikleri
- ✅ Boyutları her zaman 1'dir: \( |\vec{i}| = |\vec{j}| = 1 \)
- ✅ Birbirlerine diktirler (dik vektörler)
- ✅ Lineer bağımsızdırlar
- ✅ Herhangi bir vektörün temelini oluştururlar
🧮 Pratik Uygulama
\( \vec{a} = 2\vec{i} + 5\vec{j} \) vektörünün bileşenleri:
x-bileşeni: 2, y-bileşeni: 5
Bu vektörün büyüklüğü: \( |\vec{a}| = \sqrt{2^2 + 5^2} = \sqrt{4 + 25} = \sqrt{29} \)
