Tabanları Aynı Olan Üslü Denklemler 🧮
Bu tür denklemlerde, bilinmeyenin (genellikle x) üs kısmında olduğu ve denklemin her iki tarafının da aynı tabana sahip olduğu durumları ele alırız. Bu, çözüm için çok güçlü ve basit bir kural kullanmamızı sağlar.
🎯 Temel Kural
Eğer tabanlar aynı ve sıfırdan farklıysa (\( a \neq 0, a \neq 1, a > 0 \)), üsler birbirine eşit olmak zorundadır.
Matematiksel olarak ifade edersek:
\( a^m = a^n \) ise, \( m = n \)'dir.
💡 Çözüm Adımları
Bu tür bir denklemi çözmek için şu adımları izleyebilirsiniz:
- ✅ 1. Adım: Denklemin her iki tarafındaki tabanların aynı olup olmadığını kontrol et.
- ✅ 2. Adım: Tabanlar aynıysa, üsleri birbirine eşitle.
- ✅ 3. Adım: Elde ettiğin yeni denklemi çözerek bilinmeyen değişkenin değerini bul.
📚 Örnekler
🎓 Örnek 1: Basit Bir Denklem
\( 2^{x+1} = 2^{3} \) denklemini çözelim.
- Tabanlar zaten aynı: 2
- Üsleri eşitleriz: \( x + 1 = 3 \)
- Denklemi çözeriz: \( x = 3 - 1 \) → \( x = 2 \)
Çözüm: \( x = 2 \)
🎓 Örnek 2: Biraz Daha Karmaşık
\( 5^{2x-1} = 5^{x+4} \) denklemini çözelim.
- Tabanlar aynı: 5
- Üsleri eşitleriz: \( 2x - 1 = x + 4 \)
- Denklemi çözeriz: \( 2x - x = 4 + 1 \) → \( x = 5 \)
Çözüm: \( x = 5 \)
🎓 Örnek 3: Tabanları Aynı Hale Getirme
\( 4^{x} = 8 \) denklemini çözelim.
- İlk bakışta tabanlar farklı gibi görünüyor. Ancak, her iki sayıyı da aynı tabanda (2'nin kuvveti olarak) yazabiliriz.
- \( 4 = 2^2 \) ve \( 8 = 2^3 \)
- Denklemi yeniden yazalım: \( (2^2)^x = 2^3 \) → \( 2^{2x} = 2^3 \)
- Artık tabanlar aynı: 2
- Üsleri eşitleriz: \( 2x = 3 \)
- Denklemi çözeriz: \( x = \frac{3}{2} \)
Çözüm: \( x = 1.5 \)
⚠️ Dikkat Edilmesi Gerekenler
- 🚫 Taban 0, 1 veya -1 olamaz: Bu durumlarda üsler eşit olsa bile sonuçlar her zaman aynı olmayabilir. Örneğin, \( 1^5 = 1^7 \) (Her ikisi de 1'dir, ama 5 ve 7 eşit değildir).
- 🔍 Tabanları kontrol et: Bazen denklemdeki tabanlar farklı gibi görünebilir, ancak aynı sayının farklı kuvvetleri olabilirler (Örnek 3'te olduğu gibi). Bu durumda önce tabanları aynı yapmaya çalış.
🎲 Alıştırma Sorusu
Aşağıdaki denklemi çözmeyi deneyin:
\( 3^{x^2 - 5} = 3^{4x} \)
- Tabanlar aynı mı? Evet ✅
- Üsleri eşitle: \( x^2 - 5 = 4x \)
- Bu ikinci dereceden denklemi çöz: \( x^2 - 4x - 5 = 0 \)
- Çarpanlarına ayır: \( (x - 5)(x + 1) = 0 \)
- Çözümler: \( x = 5 \) veya \( x = -1 \)
Çözüm: \( x = 5 \) ve \( x = -1 \)
