Tam kare doğal sayılar nelerdir?

Question

Tam kare doğal sayılar, bir doğal sayının kendisiyle çarpılmasıyla elde edilen sayılardır. Örneğin 1, 4, 9, 16 birer tam karedir çünkü sırasıyla 1x1, 2x2, 3x3, 4x4'e eşittir. Hangi sayıların tam kare olduğunu nasıl kolayca anlayabileceğimi öğrenmek istiyorum.

Answer 1

Tam Kare Doğal Sayılar

Bir doğal sayı, başka bir doğal sayının karesi olarak yazılabiliyorsa bu sayıya tam kare sayı denir.

Tanım

Bir \( n \) doğal sayısı için, eğer \( n = k \times k = k^2 \) eşitliğini sağlayan bir \( k \) doğal sayısı varsa, \( n \) bir tam kare sayıdır.

Örneğin:

• \( 1 = 1 \times 1 = 1^2 \) olduğundan 1 bir tam karedir.
• \( 4 = 2 \times 2 = 2^2 \) olduğundan 4 bir tam karedir.
• \( 9 = 3 \times 3 = 3^2 \) olduğundan 9 bir tam karedir.
• \( 16 = 4 \times 4 = 4^2 \) olduğundan 16 bir tam karedir.

İlk 20 Tam Kare Doğal Sayı

1'den 20'ye kadar olan sayıların kareleri alınarak ilk 20 tam kare sayı bulunur:

• \( 1^2 = 1 \)
• \( 2^2 = 4 \)
• \( 3^2 = 9 \)
• \( 4^2 = 16 \)
• \( 5^2 = 25 \)
• \( 6^2 = 36 \)
• \( 7^2 = 49 \)
• \( 8^2 = 64 \)
• \( 9^2 = 81 \)
• \( 10^2 = 100 \)
• \( 11^2 = 121 \)
• \( 12^2 = 144 \)
• \( 13^2 = 169 \)
• \( 14^2 = 196 \)
• \( 15^2 = 225 \)
• \( 16^2 = 256 \)
• \( 17^2 = 289 \)
• \( 18^2 = 324 \)
• \( 19^2 = 361 \)
• \( 20^2 = 400 \)

Tam Kare Sayıların Özellikleri

• Tam kare sayıların karekökleri her zaman bir doğal sayıdır. Örneğin, \( \sqrt{36} = 6 \).
• Birler basamağı genellikle 0, 1, 4, 5, 6 veya 9 olur. (Örneğin, 25, 36, 49)
• Ardışık iki tam kare sayı arasındaki fark, ardışık tek sayıların toplamı şeklinde artar. Örneğin:
  • 1 ve 4 arasındaki fark 3'tür.
  • 4 ve 9 arasındaki fark 5'tir.
  • 9 ve 16 arasındaki fark 7'dir.

Bu özellikleri bilmek, bir sayının tam kare olup olmadığını anlamamıza yardımcı olur.

Answer 2

Tam Kare Doğal Sayılar Çözümlü Test Soruları

Soru 1: Bir okulda düzenlenen matematik yarışmasında öğrencilerden 1'den 100'e kadar olan doğal sayılardan tam kare olanları bulmaları isteniyor. Buna göre aşağıdaki sayılardan hangisi bu listede yer almaz?
a) 49
b) 64
c) 81
d) 90
e) 100
Cevap: d) 90
Çözüm: Tam kare sayılar, bir doğal sayının karesi olarak yazılabilen sayılardır. 49=7², 64=8², 81=9², 100=10² olduğu halde 90 bir doğal sayının karesi değildir.

Soru 2: Bir bahçıvan, kare şeklindeki bir çiçek tarhını tamamen kaplamak için 144 tane eşit büyüklükte kare saksı kullanıyor. Bu tarhın bir kenarında kaç saksı bulunmaktadır?
a) 10
b) 11
c) 12
d) 13
e) 14
Cevap: c) 12
Çözüm: Toplam saksı sayısı tam kare olmalıdır. 144=12² olduğundan, karenin bir kenarında 12 saksı bulunur.

Soru 3: Bir tam kare doğal sayının karekökü alındığında sonuç 15'ten küçük bir doğal sayı çıkıyor. Bu sayının rakamları toplamı 9 olduğuna göre, bu sayı kaçtır?
a) 36
b) 64
c) 81
d) 100
e) 121
Cevap: c) 81
Çözüm: 15'ten küçük doğal sayıların kareleri: 1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64, 81, 100, 121, 144, 169, 196. Rakamları toplamı 9 olanları: 36 (3+6=9), 81 (8+1=9), 144 (1+4+4=9). Ancak 144'ün karekökü 12 (15'ten küçük) ve 36'nın karekökü 6'dır. Soruda "bir tam kare doğal sayı" ifadesi geçtiği için 81 (karekökü 9) ve 36 (karekökü 6) uygun. Ancak seçeneklerde sadece 81 var.

Soru 4: Ardışık iki tam kare sayının toplamı 145'tir. Bu sayılardan büyük olanı kaçtır?
a) 64
b) 81
c) 100
d) 121
e) 144
Cevap: b) 81
Çözüm: Ardışık tam kare sayılar n² ve (n+1)² şeklindedir. n² + (n+1)² = 145 denklemi çözülürse: n² + n² + 2n + 1 = 145 → 2n² + 2n - 144 = 0 → n² + n - 72 = 0 → (n+9)(n-8)=0 → n=8. Büyük olan sayı (n+1)² = 9² = 81'dir.