Permütasyon, belirli sayıda elemanın sıralı dizilişlerini ifade eden bir sayma yöntemidir. Ancak klasik permütasyon formülü, tüm elemanların birbirinden farklı olduğu durumlar için geçerlidir. Peki ya elemanlar arasında tekrar edenler varsa? İşte bu noktada Tekrarlı Permütasyon devreye girer.
Tekrarlı permütasyon, içinde özdeş (aynı) elemanlar bulunan bir kümenin elemanlarının farklı sıralanışlarının sayısını bulmak için kullanılan bir permütasyon türüdür. Özdeş elemanlar yer değiştirdiğinde yeni bir sıralama oluşmaz, bu nedenle toplam sıralama sayısı azalır.
n tane elemandan oluşan bir kümemiz olsun. Bu elemanlardan;
ve n₁ + n₂ + ... + nₖ = n ise, bu n elemanın farklı sıralanışlarının (tekrarlı permütasyon) sayısı:
\[ P(n; n₁, n₂, ..., nₖ) = \frac{n!}{n₁! \cdot n₂! \cdot ... \cdot nₖ!} \]
Burada n! tüm elemanlar farklı olsaydı elde edilecek sıralama sayısıdır. Paydada ise her özdeş grubun kendi içindeki sıralamaları (ki bunlar anlamsızdır) bölme işlemiyle çıkarılır.
Çözüm:
Formülü uygulayalım:
\[ P(9; 2, 2, 2) = \frac{9!}{2! \cdot 2! \cdot 2!} \]
\[ = \frac{362880}{2 \cdot 2 \cdot 2} = \frac{362880}{8} = 45360 \]
Cevap: "MATEMATİK" kelimesinin harfleriyle 45.360 farklı kelime (sıralama) yazılabilir.
Çözüm:
\[ P(7; 4, 3) = \frac{7!}{4! \cdot 3!} = \frac{5040}{24 \cdot 6} = \frac{5040}{144} = 35 \]
Cevap: 35 farklı diziliş mümkündür.
Tekrarlı permütasyon, özdeş eleman içeren grupların sıralanma problemlerini çözmek için kullanılan temel bir sayma yöntemidir. Klasik permütasyondan farkı, özdeş elemanların yer değiştirmesinden kaynaklanan "anlamsız" sıralamaları eleyerek gerçekten farklı sayılabilecek dizilişlerin sayısını vermesidir. Formülü doğru uygulamak için elemanları türlerine ayırmak ve her türün tekrar sayısını doğru belirlemek kritik öneme sahiptir.
🎯 Alıştırma Sorusu: "BAŞARI" kelimesinin harfleriyle anlamlı ya da anlamsız kaç farklı 6 harfli kelime yazılabilir? (Cevabı: 6!/(2!·2!) = 180)
