Tümleyen nedir?

Question

Tümleyen kavramını genel olarak anlıyorum ama hangi durumlarda kullanmam gerektiğini tam olarak kestiremiyorum. Özellikle olasılık sorularında küme işlemleriyle nasıl bir ilişkisi olduğu kafamı karıştırıyor.

Answer 1

Tümleyen (Complement) Nedir?

Matematikte, özellikle küme teorisinde, "tümleyen" kavramı, belirli bir kümenin dışında kalan tüm elemanları ifade eder. Ancak, bu "dışında kalan" ifadesi bir evrensel kümeye (Evrensel Küme - Universal Set) bağlıdır.

Evrensel Küme (E), üzerinde çalıştığımız tüm elemanları içeren en büyük kümedir. Genellikle E veya U harfi ile gösterilir.

Bir Kümenin Tümleyeni

A bir küme ve E de evrensel küme olsun. A kümesinin tümleyeni, E'nin içinde olan ancak A'nın içinde olmayan tüm elemanların kümesidir.

Tümleyen, genellikle A', A^c veya Ā şeklinde gösterilir.

Matematiksel olarak şu şekilde ifade edilir:

\( A' = \{ x | x \in E \quad ve \quad x \notin A \} \)

Örnek

Evrensel kümemizin, bir haftanın günleri olduğunu düşünelim:

E = {Pazartesi, Salı, Çarşamba, Perşembe, Cuma, Cumartesi, Pazar}

Çalışma günleri kümesini de A olarak tanımlayalım:

A = {Pazartesi, Salı, Çarşamba, Perşembe, Cuma}

Bu durumda, A kümesinin tümleyeni (A'), hafta sonu günleri olacaktır:

A' = {Cumartesi, Pazar}

Çünkü bu günler, evrensel kümede (E) vardır ancak A kümesinde (çalışma günleri) yoktur.

Tümleyenin Özellikleri

• Bir kümenin tümleyeninin tümleyeni, kendisine eşittir: \((A')' = A\)
• Evrensel kümenin tümleyeni boş kümedir: \(E' = \emptyset\)
• Boş kümenin tümleyeni ise evrensel kümedir: \(\emptyset' = E\)
• Bir küme ile kendi tümleyeninin birleşimi evrensel kümeyi verir: \(A \cup A' = E\)
• Bir küme ile kendi tümleyeninin kesişimi boş kümedir: \(A \cap A' = \emptyset\)

Önemli Not: Tümleyen kavramından bahsederken, daima hangi evrensel kümeye göre tümleyen aldığımızı belirtmemiz gerekir. Evrensel küme değişirse, tümleyen de değişir.