Türev Alma Kuralları: Çarpımın ve Bölümün Türevi

Question

Türev alırken çarpım ve bölüm olduğunda ne yapacağımı karıştırıyorum. Hangi kuralı ne zaman uygulayacağımı tam olarak kestiremiyorum.

Answer 1

➕ Çarpımın Türevi: İki Fonksiyonun Dansı

Çarpımın türevi, iki fonksiyonun çarpımının türevini bulmamızı sağlar. Diyelim ki elimizde u(x) ve v(x) gibi iki fonksiyon var. Bu iki fonksiyonun çarpımının türevi şu şekilde bulunur:

(u(x) * v(x))' = u'(x) * v(x) + u(x) * v'(x)

Yani, birinci fonksiyonun türevi çarpı ikinci fonksiyon artı birinci fonksiyon çarpı ikinci fonksiyonun türevi. Bu kuralı aklımızda tutmak için şöyle düşünebiliriz: Her fonksiyon sırayla türevlenirken diğeri sabit kalıyor.

✍️ Çarpımın Türevi: Örnek Çözüm

Örneğin, f(x) = x² * sin(x) fonksiyonunun türevini bulalım.

• ? u(x) = x² ise u'(x) = 2x
• ? v(x) = sin(x) ise v'(x) = cos(x)

Şimdi formülü uygulayalım:

f'(x) = (x² * sin(x))' = 2x * sin(x) + x² * cos(x)

İşte bu kadar! Çarpımın türevi kuralını kullanarak fonksiyonumuzun türevini bulduk.

➗ Bölümün Türevi: Pay ve Paydanın Uyumu

Bölümün türevi, iki fonksiyonun bölümünün türevini hesaplamamızı sağlar. Eğer elimizde u(x) ve v(x) gibi iki fonksiyon varsa ve v(x) ≠ 0 ise, bu iki fonksiyonun bölümünün türevi şu şekilde bulunur:

(u(x) / v(x))' = (u'(x) * v(x) - u(x) * v'(x)) / (v(x))²

Bu formülü hatırlamak biraz daha karmaşık olabilir. Şöyle düşünebiliriz: Payın türevi çarpı payda eksi pay çarpı paydanın türevi, bölü paydanın karesi.

? Bölümün Türevi: Örnek Çözüm

Örneğin, f(x) = cos(x) / x fonksiyonunun türevini bulalım.

• ? u(x) = cos(x) ise u'(x) = -sin(x)
• ? v(x) = x ise v'(x) = 1

Şimdi formülü uygulayalım:

f'(x) = (cos(x) / x)' = (-sin(x) * x - cos(x) * 1) / x² = (-x * sin(x) - cos(x)) / x²

Bölümün türevi kuralını kullanarak bu fonksiyonun türevini de kolayca bulduk.

Unutmayın, türev alma kuralları pratik yaptıkça daha da kolaylaşacaktır. Bol bol örnek çözerek bu kuralları pekiştirebilirsiniz!