➕ Aritmetik Ortalama Nedir?
Aritmetik ortalama, hepimizin aslında günlük hayatta sıkça kullandığı bir yöntemdir. Birkaç sayının toplamını, sayı adedine bölerek bulduğumuz değere aritmetik ortalama denir.
* 🍎 Diyelim ki matematik sınavından 70, 80 ve 90 aldın. Aritmetik ortalamanı bulmak için bu notları toplar (70 + 80 + 90 = 240) ve 3'e böleriz. Sonuç 80 olur. Yani matematik notlarının aritmetik ortalaması 80'dir.
* 🍎 Formülle göstermek gerekirse: Eğer $x_1, x_2, ..., x_n$ gibi $n$ tane sayımız varsa, aritmetik ortalama (AO) şu şekilde hesaplanır:
$AO = \frac{x_1 + x_2 + ... + x_n}{n}$
📐 Geometrik Ortalama Nedir?
Geometrik ortalama, aritmetik ortalamadan biraz farklıdır. Geometrik ortalamayı bulurken sayıları toplamak yerine çarparız ve sonra kök alırız.
* 🍎 Örneğin, 4 ve 9 sayılarının geometrik ortalamasını bulmak için önce bu sayıları çarparız (4 * 9 = 36). Sonra da sonucun karekökünü alırız (√36 = 6). Yani 4 ve 9'un geometrik ortalaması 6'dır.
* 🍎 Formülle gösterirsek: Eğer $x_1, x_2, ..., x_n$ gibi $n$ tane pozitif sayımız varsa, geometrik ortalama (GO) şu şekilde hesaplanır:
$GO = \sqrt[n]{x_1 \cdot x_2 \cdot ... \cdot x_n}$
⚖️ Aritmetik-Geometrik Ortalama Eşitsizliği
Aritmetik ve geometrik ortalama arasındaki ilişkiyi gösteren çok önemli bir eşitsizlik vardır. Bu eşitsizlik, aritmetik ortalamanın her zaman geometrik ortalamadan büyük veya ona eşit olduğunu söyler.
* 🍎 Yani, aynı sayılar için hesaplanan aritmetik ortalama ile geometrik ortalama karşılaştırıldığında, aritmetik ortalama her zaman daha büyük veya eşit olacaktır.
* 🍎 Formülle ifade edersek: $x_1, x_2, ..., x_n$ gibi pozitif sayılar için:
$\frac{x_1 + x_2 + ... + x_n}{n} \geq \sqrt[n]{x_1 \cdot x_2 \cdot ... \cdot x_n}$
* 🍎 Eşitlik durumu ne zaman geçerli olur? Eğer tüm sayılar birbirine eşitse, aritmetik ortalama geometrik ortalamaya eşit olur. Örneğin, bütün sayılar 5 ise, hem aritmetik hem de geometrik ortalama 5 olacaktır.
➕➖ Eşitsizliği Nerelerde Kullanırız?
Bu eşitsizlik, matematik problemlerini çözerken bize çok yardımcı olabilir. Özellikle maksimum ve minimum değerleri bulma sorularında işimize yarar.
* 🍎
Örnek Soru: $a$ ve $b$ pozitif reel sayılar olmak üzere, $a + b = 10$ ise $a \cdot b$ en çok kaçtır?
* 🍎
Çözüm: Aritmetik-geometrik ortalama eşitsizliğini kullanalım:
$\frac{a + b}{2} \geq \sqrt{a \cdot b}$
* 🍎 $a + b = 10$ olduğunu biliyoruz, yerine koyalım:
$\frac{10}{2} \geq \sqrt{a \cdot b}$
$5 \geq \sqrt{a \cdot b}$
* 🍎 Her iki tarafın karesini alırsak:
$25 \geq a \cdot b$
* 🍎 Yani $a \cdot b$'nin en büyük değeri 25'tir. Bu değer, $a = 5$ ve $b = 5$ olduğunda elde edilir.
