🧮 Asal Sayılar Nedir?
Asal sayılar, sadece 1'e ve kendisine bölünebilen 1'den büyük doğal sayılardır. Başka bir deyişle, sadece iki pozitif böleni olan sayılardır.
- 💡 En küçük asal sayı: 2'dir. 2 aynı zamanda tek çift asal sayıdır.
- 🍎 1 asal sayı mıdır? Hayır, 1 asal sayı değildir çünkü sadece bir böleni vardır.
- ➕ Asal sayılar sonsuz mudur? Evet, asal sayılar sonsuzdur. Öklid'in bu konuda bir kanıtı vardır.
🧩 Asal Sayıların Özellikleri
- 🔑 1 ve kendisinden başka böleni yoktur.
- 💥 Pozitif tam sayılardır.
- 🌟 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29... şeklinde devam eder.
🚀 Yeni Nesil Asal Sayı Soruları ve Çözümleri
Şimdi de TYT'de karşımıza çıkabilecek yeni nesil asal sayı sorularına ve çözümlerine göz atalım.
❓ Soru 1:
$a$ ve $b$ asal sayılar olmak üzere, $a^2 - b^2 = 21$ eşitliğini sağlayan $a$ ve $b$ değerlerini bulunuz.
Çözüm:
$a^2 - b^2$ ifadesi iki kare farkıdır ve $(a - b)(a + b)$ şeklinde yazılabilir. Yani, $(a - b)(a + b) = 21$ olur. 21'in çarpanları 1, 3, 7 ve 21'dir. Bu durumda iki farklı durum söz konusu olabilir:
- 🔑 Durum 1: $a - b = 1$ ve $a + b = 21$. Bu durumda $2a = 22$ ve $a = 11$ olur. Buradan $b = 10$ bulunur. Ancak 10 asal sayı olmadığından bu durum geçerli değildir.
- 🔑 Durum 2: $a - b = 3$ ve $a + b = 7$. Bu durumda $2a = 10$ ve $a = 5$ olur. Buradan $b = 2$ bulunur. Hem 5 hem de 2 asal sayı olduğundan bu durum geçerlidir.
Dolayısıyla, $a = 5$ ve $b = 2$'dir.
❓ Soru 2:
$x$, $y$ ve $z$ birbirinden farklı asal sayılar olmak üzere, $x + y + z = 20$ eşitliğini sağlayan kaç farklı $(x, y, z)$ sıralı üçlüsü vardır?
Çözüm:
Toplamı 20 olan üç farklı asal sayı bulmamız gerekiyor. Asal sayılarımız 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19... şeklindedir. Bu sayılardan bazılarını deneyerek sonuca ulaşabiliriz.
- 🍎 Eğer sayılardan biri 2 ise, diğer iki sayının toplamı 18 olmalıdır. Bu durumda (5, 13) ve (7, 11) kombinasyonları işe yarar. Yani (2, 5, 13) ve (2, 7, 11) sıralı üçlüleri elde edilir.
- 🍎 Eğer sayılardan biri 3 ise, diğer iki sayının toplamı 17 olmalıdır. Bu durumda (2, 15) kombinasyonu işe yaramaz çünkü 15 asal değildir. Başka bir kombinasyon da yoktur.
- 🍎 Eğer sayılardan biri 5 ise, diğer iki sayının toplamı 15 olmalıdır. Bu durumda (2, 13) kombinasyonu zaten bulunmuştu. Başka bir kombinasyon yoktur.
Bulunan sıralı üçlüler (2, 5, 13) ve (2, 7, 11)'dir. Ancak bu sayıların kendi aralarındaki sıralamaları da farklı sıralı üçlüler oluşturur.
(2, 5, 13) için 3! = 6 farklı sıralama vardır: (2, 5, 13), (2, 13, 5), (5, 2, 13), (5, 13, 2), (13, 2, 5), (13, 5, 2).
(2, 7, 11) için de 3! = 6 farklı sıralama vardır: (2, 7, 11), (2, 11, 7), (7, 2, 11), (7, 11, 2), (11, 2, 7), (11, 7, 2).
Toplamda 6 + 6 = 12 farklı sıralı üçlü vardır.
❓ Soru 3:
$p$ bir asal sayı olmak üzere, $2p + 1$ sayısı da asal ise, $p$ sayısına "Sophie Germain asalı" denir. Buna göre, aşağıdakilerden hangisi Sophie Germain asalıdır?
A) 7
B) 11
C) 13
D) 17
E) 19
Çözüm:
Şıkları tek tek deneyerek sonuca ulaşabiliriz.
- 🍎 A) $p = 7$ için $2p + 1 = 2(7) + 1 = 15$ olur. 15 asal sayı değildir.
- 🍎 B) $p = 11$ için $2p + 1 = 2(11) + 1 = 23$ olur. 23 asal sayıdır.
- 🍎 C) $p = 13$ için $2p + 1 = 2(13) + 1 = 27$ olur. 27 asal sayı değildir.
- 🍎 D) $p = 17$ için $2p + 1 = 2(17) + 1 = 35$ olur. 35 asal sayı değildir.
- 🍎 E) $p = 19$ için $2p + 1 = 2(19) + 1 = 39$ olur. 39 asal sayı değildir.
Dolayısıyla, cevap B) 11'dir.
