Geometride üçgen, üç doğru parçasının uç uca eklenmesiyle oluşan bir şekildir. Ancak herhangi üç doğru parçasını alıp bir üçgen oluşturamayız. Bir üçgenin çizilebilmesi için temel bir kural vardır.
Bir üçgenin çizilebilmesi için, herhangi bir kenarın uzunluğunun, diğer iki kenarın uzunlukları toplamından küçük olması gerekir. Aynı zamanda, herhangi bir kenarın uzunluğu, diğer iki kenarın uzunlukları farkının mutlak değerinden büyük olmalıdır.
Kenar uzunlukları \( a \), \( b \) ve \( c \) olan bir üçgenin çizilebilmesi için aşağıdaki üç koşulun hepsi aynı anda sağlanmalıdır:
Bu, şu anlama gelir: En uzun kenar, diğer iki kenarın toplamından küçük olmalıdır.
Örnek 1: Kenarları 5 cm, 6 cm ve 7 cm olan bir üçgen çizilebilir mi?
Tüm koşullar sağlandığı için EVET, bu üçgen çizilebilir.
Örnek 2: Kenarları 3 cm, 4 cm ve 8 cm olan bir üçgen çizilebilir mi?
Bir koşul bile sağlanmadığı için HAYIR, bu üçgen çizilemez. 8 cm'lik kenar diğer iki kenarın toplamından (7 cm) uzundur. Bu nedenle uçlar birleşmez ve üçgen oluşmaz.
Üçgen çizebilmek için sadece üç tane doğru parçasına sahip olmak yeterli değildir. Bu doğru parçalarının uzunluklarının Üçgen Eşitsizliği Kuralı'nı sağlaması gerekir. Bu kural, bir üçgenin var olabilmesinin temel ve vazgeçilmez şartıdır.
Soru 1: Bir üçgenin çizilebilmesi için aşağıdaki bilgilerden hangisi her zaman yeterlidir?
a) Üç açısının ölçüsü
b) İki kenar uzunluğu ve bir açısı
c) Üç kenar uzunluğu
d) İki açısının ölçüsü ve bir kenar uzunluğu
e) Bir kenar uzunluğu ve bir açısı
Cevap: c) Üç kenar uzunluğu
Çözüm: Üç kenar uzunluğu bilgisi, üçgen eşitsizliğini sağladığı sürece her zaman tek bir üçgen belirtir. Diğer seçeneklerdeki bilgiler bazı durumlarda iki farklı üçgen oluşturulabilir veya hiç üçgen oluşturulamaz.
Soru 2: Kenar uzunlukları 5 cm, 8 cm ve 15 cm olan bir üçgen çizilmek isteniyor. Bu çizim neden mümkün değildir?
a) Çünkü üçgenin iç açıları toplamı 180° olmaz
b) Çünkü verilen kenar uzunlukları üçgen eşitsizliğini sağlamaz
c) Çünkü en uzun kenar en büyük açının karşısında değildir
d) Çünkü kenar uzunlukları çok farklıdır
e) Çünkü bu kenarlarla sadece ikizkenar üçgen çizilebilir
Cevap: b) Çünkü verilen kenar uzunlukları üçgen eşitsizliğini sağlamaz
Çözüm: Üçgen eşitsizliğine göre herhangi iki kenarın toplamı üçüncü kenardan büyük olmalıdır. 5 + 8 = 13 < 15 olduğundan bu koşul sağlanmaz ve üçgen çizilemez.
Soru 3: Bir üçgenin çizilebilmesi için aşağıdaki koşullardan hangisi mutlaka sağlanmalıdır?
a) En az bir açısı 90° olmalıdır
b) İki kenar uzunluğu eşit olmalıdır
c) Üçgen eşitsizliği sağlanmalıdır
d) En büyük açısı 90°'den küçük olmalıdır
e) Kenar uzunlukları tam sayı olmalıdır
Cevap: c) Üçgen eşitsizliği sağlanmalıdır
Çözüm: Üçgen eşitsizliği, herhangi iki kenarın toplamının üçüncü kenardan büyük olmasıdır. Bu koşul sağlanmazsa üçgen çizilemez. Diğer seçeneklerdeki koşullar üçgen çizimi için zorunlu değildir.
Soru 4: Bir üçgende iki kenar uzunluğu 7 cm ve 10 cm olarak veriliyor. Üçüncü kenarın uzunluğu a cm olsun. Bu üçgenin çizilebilmesi için a'nın alabileceği tam sayı değerlerinin toplamı kaçtır?
a) 39
b) 42
c) 45
d) 48
e) 51
Cevap: c) 45
Çözüm: Üçgen eşitsizliğine göre: 10-7 < a < 10+7 → 3 < a < 17. a'nın alabileceği tam sayı değerleri: 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16. Bu değerlerin toplamı: 4+5+6+7+8+9+10+11+12+13+14+15+16 = 135 olur.
