Bir üçgenin alanını hesaplamak için birkaç farklı yöntem kullanabiliriz. Hangi yöntemi kullanacağımız, bize verilen bilgilere bağlıdır.
Bu, en temel ve en yaygın kullanılan yöntemdir. Formülü şu şekildedir:
Alan = (Taban Uzunluğu x Yükseklik) / 2
Matematiksel olarak ifade edersek: \( A = \frac{1}{2} \cdot a \cdot h_a \)
Burada:
Bir üçgende iki kenarın uzunluğu ve bu kenarlar arasındaki açının ölçüsü biliniyorsa alan şu formülle bulunur:
Alan = (1/2) x a x b x sin(C)
Matematiksel olarak: \( A = \frac{1}{2} \cdot a \cdot b \cdot \sin(\gamma) \)
Bu formül, özellikle dik üçgenlerde yüksekliği bulmanın zor olduğu durumlarda çok kullanışlıdır.
Üçgenin tüm kenar uzunluklarını ve iç teğet çemberin yarıçapını biliyorsak alanı şu şekilde hesaplayabiliriz:
Alan = u x r
Matematiksel olarak: \( A = u \cdot r \)
Burada:
Eğer üçgenin üç kenarının uzunluğunu da biliyorsak, yüksekliğe ihtiyaç duymadan Heron Formülü'nü kullanabiliriz.
Öncelikle u değerini (çevrenin yarısı) buluruz: \( u = \frac{a + b + c}{2} \)
Daha sonra alan: Alan = √[u(u-a)(u-b)(u-c)]
Matematiksel olarak: \( A = \sqrt{u \cdot (u-a) \cdot (u-b) \cdot (u-c)} \)
Soru: Taban uzunluğu 10 cm ve bu tabana ait yüksekliği 6 cm olan bir üçgenin alanı kaç cm²'dir?
Çözüm:
Formülümüz: Alan = (Taban x Yükseklik) / 2
Verilenleri yerine koyalım: Alan = (10 cm x 6 cm) / 2
Alan = 60 / 2 = 30 cm²
Cevap: 30
Soru: Kenar uzunlukları 8 cm ve 12 cm olan ve bu kenarlar arasındaki açı 30° olan bir üçgenin alanı kaç cm²'dir? (sin30° = 0.5)
Çözüm:
Formülümüz: Alan = (1/2) x a x b x sin(C)
Verilenleri yerine koyalım: Alan = (1/2) x 8 x 12 x sin(30°)
Alan = (1/2) x 8 x 12 x 0.5
Alan = (1/2) x 48 = 24 cm²
Cevap: 24
Soru: Kenar uzunlukları 5 cm, 6 cm ve 7 cm olan bir üçgenin alanı kaç cm²'dir?
Çözüm:
Önce u değerini bulalım: \( u = \frac{5 + 6 + 7}{2} = \frac{18}{2} = 9 \) cm
Şimdi Heron Formülü'nü uygulayalım:
\( A = \sqrt{9 \cdot (9-5) \cdot (9-6) \cdot (9-7)} \)
\( A = \sqrt{9 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2} \)
\( A = \sqrt{216} \)
\( A = \sqrt{36 \cdot 6} = 6\sqrt{6} \) cm²
Cevap: \( 6\sqrt{6} \)
Soru: Çevresi 24 cm ve iç teğet çemberinin yarıçapı 3 cm olan bir üçgenin alanı kaç cm²'dir?
Çözüm:
Formülümüz: Alan = u x r
Çevre 24 cm ise, u değeri (çevrenin yarısı) 24 / 2 = 12 cm'dir.
Alan = 12 cm x 3 cm = 36 cm²
Cevap: 36
Soru 1: Bir üçgenin iki kenarı 8 cm ve 12 cm olup bu kenarlar arasındaki açı 30°'dir. Bu üçgenin alanı kaç cm²'dir?
a) 24 b) 32 c) 36 d) 48 e) 64
Cevap: a) 24
Çözüm: İki kenar ve arasındaki açı biliniyorsa alan = (1/2) × a × b × sin(α) formülü kullanılır. Alan = (1/2) × 8 × 12 × sin(30°) = 48 × (1/2) = 24 cm².
Soru 2: Taban uzunluğu 10 cm olan bir ikizkenar üçgenin çevresi 36 cm'dir. Bu üçgenin alanı kaç cm²'dir?
a) 40 b) 48 c) 50 d) 60 e) 72
Cevap: b) 48
Çözüm: İkizkenar üçgende eşit kenarlar (36-10)/2 = 13 cm'dir. Taban 10 cm olduğuna göre yükseklik Pisagor bağıntısıyla h² = 13² - 5² = 169 - 25 = 144 → h = 12 cm bulunur. Alan = (10 × 12)/2 = 60 değil, dikkat: (taban × yükseklik)/2 = (10 × 12)/2 = 60 değil mi? Kontrol: 10×12=120, 120/2=60. Ancak seçeneklerde 60 var (d şıkkı). Soruda hata yoksa cevap 60 olmalı. Fakat soru kökünde "ikizkenar üçgen" ve çevre 36 verilmiş. Eşit kenar 13, taban 10, yükseklik 12, alan = 60. Cevap d) 60 olacak.
Soru 3: Koordinat düzleminde A(2,3), B(6,7) ve C(4,9) noktaları veriliyor. ABC üçgeninin alanı kaç birimkaredir?
a) 6 b) 8 c) 10 d) 12 e) 14
Cevap: a) 6
Çözüm: Üçgenin alanı koordinatları kullanarak şu formülle bulunur: Alan = (1/2)|x₁(y₂-y₃) + x₂(y₃-y₁) + x₃(y₁-y₂)| = (1/2)|2(7-9) + 6(9-3) + 4(3-7)| = (1/2)|2(-2) + 6(6) + 4(-4)| = (1/2)|-4 + 36 - 16| = (1/2)|16| = 8 birimkare. Hesaplama: -4+36=32, 32-16=16, 16/2=8. Cevap b) 8 olmalı. Seçeneklerde 8 b şıkkı.
