Üçgende diklik merkezi özellikleri nedir?

Question

Üçgen çizerken yüksekliklerin kesiştiği noktayı işaretliyorum ama bu noktanın üçgenin içinde veya dışında olması kafamı karıştırıyor. Ayrıca diklik merkezinin dar açılı veya geniş açılı üçgenlerde nasıl konumlandığını tam anlayamadım. Bu konuyu basitçe anlamak için yardıma ihtiyacım var.

Answer 1

Üçgende Diklik Merkezi Nedir?

Bir üçgenin yükseklikleri (üçgenin köşelerinden karşılarındaki kenarlara indirilen dikmeler) üç farklı noktada kesişir. Bu kesişim noktasına diklik merkezi denir. Genellikle H harfi ile gösterilir.

Diklik Merkezinin Özellikleri

• Konumu Üçgenin Çeşidine Göre Değişir:
  • Dar Açılı Üçgen: Diklik merkezi, üçgenin iç bölgesinde yer alır.
  • Dik Açılı Üçgen: Diklik merkezi, dik açının olduğu köşeye denk gelir. Örneğin, A açısı 90° ise diklik merkezi A noktasıdır.
  • Geniş Açılı Üçgen: Diklik merkezi, üçgenin dış bölgesinde yer alır.
• Yüksekliklerin Kesişim Noktasıdır: Bir üçgenin üç yüksekliği her zaman bu noktada kesişir.
• Dik Üçgende Özel Durum: Dik üçgende, dik kenarlar aynı zamanda iki yüksekliktir. Bu nedenle dik açının olduğu köşe, bu iki yüksekliğin zaten kesiştiği noktadır.

Diklik Merkezi ile İlgili Önemli Bağıntılar

Diklik merkezi (H), çevrel çemberin merkezi (O) ve ağırlık merkezi (G) arasında özel bir doğrusal ilişki vardır. Bu doğruya Euler Doğrusu denir. Bu üç nokta aynı doğru üzerindedir ve \( \vec{OH} = 3\vec{OG} \) bağıntısı geçerlidir. Yani, ağırlık merkezi, çevrel çember merkezi ile diklik merkezini birleştiren doğru parçasını 1:2 oranında böler.

Bir başka özellik ise, köşelerden çizilen ve diklik merkezinden geçen doğruların, çevrel çember üzerinde ilginç bir simetri oluşturmasıdır. Örneğin, A köşesinden geçen ve diklik merkezinden geçen doğru, çevrel çemberi yeniden kestiği noktada, yüksekliğin ayağı ile ilgili eşitlikler sağlanır.

Answer 2

Üçgende Diklik Merkezi Çözümlü Test Soruları

Soru 1: Bir ABC üçgeninin diklik merkezi H noktasıdır. Üçgenin köşelerinden birinden geçen yükseklik, karşı kenarı D noktasında kesmektedir. |AH| = 6 cm ve |HD| = 2 cm olduğuna göre, |AD| kaç cm'dir?
a) 4   b) 6   c) 8   d) 10   e) 12
Cevap: c) 8
Çözüm: Yükseklik üzerindeki A, H ve D noktaları doğrusaldır. |AD| = |AH| + |HD| = 6 + 2 = 8 cm olur.

Soru 2: Dar açılı bir ABC üçgeninde diklik merkezi H noktasıdır. m(∠BAC) = 50° ve m(∠ABC) = 60° olduğuna göre, m(∠BHC) kaç derecedir?
a) 100   b) 110   c) 120   d) 130   e) 140
Cevap: c) 120
Çözüm: Dar açılı üçgende diklik merkezi iç bölgededir. ∠BHC açısı, ∠BAC açısının gördüğü yayın bütünleridir. m(∠BHC) = 180° - m(∠BAC) = 180° - 60° = 120° olur.

Soru 3: Dik üçgen şeklindeki bir arsanın köşeleri A, B ve C noktalarıdır. A köşesindeki açı 90° dir. Bu üçgenin diklik merkezi nerededir?
a) Üçgenin dış bölgesinde   b) BC kenarının orta noktasında   c) A köşesinde   d) Hipotenüs üzerinde   e) Alan merkezinde
Cevap: c) A köşesinde
Çözüm: Dik üçgende diklik merkezi, dik açının olduğu köşededir. AB ve AC kenarları zaten yüksekliktir, bu nedenle diklik merkezi A noktasıdır.

Soru 4: Geniş açılı bir üçgende diklik merkezi ile ilgili aşağıdaki ifadelerden hangisi doğrudur?
a) Her zaman üçgenin iç bölgesindedir   b) Çevrel çemberin merkezi ile çakışıktır   c) Üçgenin dış bölgesindedir   d) Ağırlık merkezinin 2 katı uzaklıktadır   e) İç teğet çemberin merkezidir
Cevap: c) Üçgenin dış bölgesindedir
Çözüm: Geniş açılı üçgenlerde yüksekliklerin kesişim noktası (diklik merkezi) üçgenin dış bölgesinde bulunur.