Üçgenin ağırlık merkezinin koordinatları

Question

Üçgenin köşe koordinatlarını biliyorum ama ağırlık merkezini bulmak için formülde nasıl birleştireceğimi tam anlayamadım. X ve Y koordinatlarını ayrı ayrı mı hesaplıyoruz? Formülü uygularken nerede hata yapıyorum anlamadım.

Answer 1

📐 Üçgenin Ağırlık Merkezi (Geometrik Merkez)

Bir üçgenin ağırlık merkezi, üçgenin üç kenarortayının kesiştiği noktadır. Kenarortay, bir köşeyi karşı kenarın orta noktasına birleştiren doğru parçasıdır. Ağırlık merkezi, her kenarortayı tepe noktasından itibaren 2:1 oranında böler.

🧮 Koordinat Hesaplama Formülü

Köşe noktalarının koordinatları \( A(x_1, y_1) \), \( B(x_2, y_2) \) ve \( C(x_3, y_3) \) olan bir üçgenin ağırlık merkezinin koordinatları \( G(x, y) \), köşelerin koordinatlarının aritmetik ortalaması alınarak bulunur.

Formül:

\( x = \frac{x_1 + x_2 + x_3}{3} \)

\( y = \frac{y_1 + y_2 + y_3}{3} \)

💡 Örnek Hesaplama

Köşe koordinatları \( A(2, 4) \), \( B(6, 8) \) ve \( C(10, 2) \) olan bir üçgenin ağırlık merkezini bulalım.

• ➡️ X koordinatını hesaplayalım: \( x = \frac{2 + 6 + 10}{3} = \frac{18}{3} = 6 \)
• ➡️ Y koordinatını hesaplayalım: \( y = \frac{4 + 8 + 2}{3} = \frac{14}{3} \approx 4.67 \)

Sonuç olarak, bu üçgenin ağırlık merkezi G(6, 4.67) noktasıdır. ✅

📌 Önemli Özellikler

• 🎯 Ağırlık merkezi, üçgenin daima iç bölgesinde yer alır.
• 🎯 Her kenarortay, ağırlık merkezi tarafından 2:1 oranında bölünür. Yani, köşeden ağırlık merkezine olan uzaklık, ağırlık merkezinden kenara olan uzaklığın iki katıdır.
• 🎯 Üçgenin alanını, ağırlık merkezinden çizilen doğrularla eşit alanlı 6 küçük üçgene bölebilirsiniz.