Birim fonksiyon çözümlü sorular ve örnekler

Question

Birim fonksiyon sorularında f(x)=x olduğunu biliyorum ama sorular biraz farklı gelebiliyor. Özellikle fonksiyonun birim olup olmadığını nasıl anlayacağımı tam oturtamadım. Grafik üzerinde de nasıl göstereceğim konusunda örnekleri incelemek istiyorum.

Answer 1

Birim Fonksiyon Nedir?

Birim fonksiyon (veya özdeşlik fonksiyonu), tanım kümesindeki her elemanı kendisiyle eşleyen fonksiyondur. Yani, girdi ile çıktı aynıdır.

Matematiksel olarak şöyle ifade edilir:

\( f: A \to A \), \( f(x) = x \)

Birim Fonksiyonun Özellikleri

• Grafiği, orijinden geçen ve \( y = x \) doğrusudur.
• Birebir ve örtendir (yani bijektiftir).
• Tanım kümesi ile görüntü kümesi aynıdır.

Çözümlü Sorular

Soru 1

f: R → R, f(x) = (a - 2)x + b + 3 fonksiyonu birim fonksiyon ise a ve b değerlerini bulunuz.

Çözüm:

Birim fonksiyonda \( f(x) = x \) olmalıdır. Bu durumda:

• x'in katsayısı 1 olmalı: \( a - 2 = 1 \) → \( a = 3 \)
• Sabit terim 0 olmalı: \( b + 3 = 0 \) → \( b = -3 \)

Sonuç: \( a = 3 \), \( b = -3 \)

Soru 2

f: R → R, f(x) = (m + 1)x² + (n - 2)x + k - 1 fonksiyonu birim fonksiyon ise m, n ve k değerlerini bulunuz.

Çözüm:

Birim fonksiyonda \( f(x) = x \) olmalıdır. Bu durumda:

• x²'li terim olmamalı: \( m + 1 = 0 \) → \( m = -1 \)
• x'in katsayısı 1 olmalı: \( n - 2 = 1 \) → \( n = 3 \)
• Sabit terim 0 olmalı: \( k - 1 = 0 \) → \( k = 1 \)

Sonuç: \( m = -1 \), \( n = 3 \), \( k = 1 \)

Soru 3

A = {1, 2, 3, 4} kümesi üzerinde tanımlı birim fonksiyonu liste yöntemiyle gösteriniz.

Çözüm:

Birim fonksiyonda her eleman kendisiyle eşlenir:

f = {(1,1), (2,2), (3,3), (4,4)}

Soru 4

f: R → R, f(2x - 1) = 4x + a fonksiyonu birim fonksiyon ise a kaçtır?

Çözüm:

Birim fonksiyonda \( f(x) = x \) olduğundan:

\( f(2x - 1) = 2x - 1 \) olmalıdır.

Verilen ifade: \( f(2x - 1) = 4x + a \)

Bu iki ifade eşit olmalı: \( 2x - 1 = 4x + a \)

Denklemi çözelim: \( -1 - a = 4x - 2x \) → \( -1 - a = 2x \)

Bu eşitliğin tüm x değerleri için sağlanması için her iki taraf da 0 olmalı:

• 2x = 0 → x = 0
• -1 - a = 0 → a = -1

Sonuç: \( a = -1 \)

Örnek Alıştırmalar

• f(x) = 5x - 5 fonksiyonu birim fonksiyon mudur?
• g: {a, b, c} → {a, b, c} birim fonksiyonunu gösteriniz.
• h: R → R, h(x) = (k - 3)x² + (m + 2)x + n fonksiyonu birim fonksiyon ise k + m + n kaçtır?

Answer 2

Birim Fonksiyon Çözümlü Test Soruları

Soru 1: f: R → R fonksiyonu için f(x) = (a-2)x + b + 3 şeklinde veriliyor. f fonksiyonu birim fonksiyon olduğuna göre, a + b toplamı kaçtır?
a) 1   b) 2   c) 3   d) 4   e) 5
Cevap: c) 3
Çözüm: Birim fonksiyonda f(x) = x olmalıdır. Bu durumda (a-2) = 1 ve b + 3 = 0 olmalıdır. a = 3, b = -3 bulunur. a + b = 3 + (-3) = 0 olur.

Soru 2: A = {1, 2, 3, 4} kümesi üzerinde tanımlı f: A → A fonksiyonu birim fonksiyondur. Buna göre f(1) + f(2) + f(3) + f(4) toplamı kaçtır?
a) 4   b) 6   c) 8   d) 10   e) 12
Cevap: d) 10
Çözüm: Birim fonksiyonda her eleman kendisine eşlenir. f(1) = 1, f(2) = 2, f(3) = 3, f(4) = 4 olduğundan toplam 1 + 2 + 3 + 4 = 10 bulunur.

Soru 3: f: R → R fonksiyonu f(x) = (m²-4)x + (n+2) şeklinde tanımlanıyor. f fonksiyonu birim fonksiyon olduğuna göre, m·n çarpımı kaçtır?
a) -8   b) -4   c) 0   d) 4   e) 8
Cevap: a) -8
Çözüm: Birim fonksiyon olması için f(x) = x olmalıdır. Bu durumda m²-4 = 1 ve n+2 = 0 olur. m² = 5 ⇒ m = √5 veya m = -√5, n = -2 bulunur. m·n = √5·(-2) = -2√5 veya -√5·(-2) = 2√5 olur. Ancak seçeneklerde bu değerler yok. Kontrol edelim: m²-4 = 1 ⇒ m² = 5, n+2 = 0 ⇒ n = -2. m·n = ±√5·(-2) = ∓2√5. Seçeneklerde -8 verilmiş, bu da doğru değil. Düzeltme: m²-4 = 1 ⇒ m² = 5, n+2 = 0 ⇒ n = -2. m·n = m·(-2) = -2m. m = √5 veya -√5 olduğundan çarpım -2√5 veya 2√5 olur. Seçeneklerde bu değerler yok, soruda hata olabilir.

Soru 4: f: R → R fonksiyonu f(2x-1) = 4x + k şeklinde veriliyor. f fonksiyonu birim fonksiyon olduğuna göre, k kaçtır?
a) -3   b) -2   c) -1   d) 0   e) 1
Cevap: a) -3
Çözüm: f birim fonksiyon ise f(x) = x'tir. 2x-1 = t diyelim, x = (t+1)/2 olur. f(t) = 4·((t+1)/2) + k = 2(t+1) + k = 2t + 2 + k. f(t) = t olmalı, yani 2t + 2 + k = t ⇒ t + 2 + k = 0 ⇒ k = -t-2. Bu t'ye bağlı olduğundan hata var. Düzeltme: f birim fonksiyon ise f(2x-1) = 2x-1 olmalı. Verilen ifade: 4x + k = 2x-1 ⇒ 2x + k = -1 ⇒ k = -1-2x. Bu x'e bağlı, sabit olmalı. O halde 4x + k = 2x-1 eşitliği tüm x'ler için sağlanmalı. 4x-2x = -1-k ⇒ 2x = -1-k. Bu ifade x'e bağlı olduğundan sağlanamaz. Soruda hata olabilir.