📐 Parçalı Fonksiyonun Türevi
Parçalı fonksiyonlar, farklı aralıklarda farklı kurallarla tanımlanan fonksiyonlardır. Bu tür fonksiyonların türevini alırken dikkatli olmamız gerekir çünkü her parçanın türevi ayrı ayrı hesaplanır ve özellikle parçaların birleşim noktalarında türevin varlığı ayrıca incelenmelidir.
🔍 Adım Adım İnceleme
- 📌 1. Adım: Parçaların Türevini Al
Fonksiyonun her bir parçasının ayrı ayrı türevini alırız. Bu, fonksiyonun "pürüzsüz" olduğu aralıklarda türevi verir.
- 🎯 2. Adım: Birleşim Noktalarını Kontrol Et
Parçaların birleştiği noktalarda türevin var olup olmadığını kontrol etmemiz gerekir. Bunun için sağdan ve soldan türevlere bakarız.
🧮 Birleşim Noktasında Türev Kontrolü
Bir \( x = a \) noktasında türevin var olması için:
- ✅ Fonksiyon bu noktada sürekli olmalıdır
- ✅ Sağdan türev ve soldan türev birbirine eşit olmalıdır
Matematiksel olarak:
- Sağdan türev: \( f'(a^+) = \lim_{h \to 0^+} \frac{f(a+h) - f(a)}{h} \)
- Soldan türev: \( f'(a^-) = \lim_{h \to 0^-} \frac{f(a+h) - f(a)}{h} \)
Eğer \( f'(a^+) = f'(a^-) \) ise, fonksiyonun \( x = a \) noktasında türevi vardır.
📝 Örnek Problem
Aşağıdaki parçalı fonksiyonun türevini inceleyelim:
\( f(x) = \begin{cases}
x^2 + 1, & x \leq 2 \\
3x - 1, & x > 2
\end{cases} \)
🔹 Çözüm Adımları:
- 💡 Parçaların türevleri:
- \( x < 2 \) için: \( f'(x) = 2x \)
- \( x > 2 \) için: \( f'(x) = 3 \)
- 🔍 Birleşim noktasında (\( x = 2 \)) inceleme:
- Soldan türev: \( f'(2^-) = 2 \cdot 2 = 4 \)
- Sağdan türev: \( f'(2^+) = 3 \)
- ❌ Sonuç: \( f'(2^-) = 4 \neq 3 = f'(2^+) \) olduğundan, fonksiyonun \( x = 2 \) noktasında türevi yoktur.
💡 Önemli Uyarılar
- ⚠️ Birleşim noktalarında her zaman türev kontrolü yapın
- ⚠️ Fonksiyon önce sürekli mi diye kontrol edin - süreklilik yoksa türev de yoktur
- ⚠️ Parçalı fonksiyonun türevi de genellikle parçalı bir fonksiyondur
🎓 Pratik İpucu
Parçalı fonksiyonların türevini alırken şu soruları kendinize sorun:
- ➡️ Her parçanın türevini aldım mı?
- ➡️ Birleşim noktalarında süreklilik var mı?
- ➡️ Sağdan ve soldan türevler eşit mi?
