Üslü sayılarda dört işlem

Question

Bu konuda özellikle tabanları aynı olmayan üslü sayılarla işlem yaparken zorlanıyorum. Üsler aynı olduğunda nasıl bir yol izlemem gerektiğini de tam anlayamadım. Temel kuralları karıştırıyorum ve işlem sırasında hata yapıyorum.

Answer 1

Üslü Sayılarda Temel Kurallar

Bir üslü sayı, tabanın kendisiyle kaç kere çarpılacağını gösteren bir ifadedir. Taban ve üs (veya kuvvet) olmak üzere iki kısımdan oluşur. Örneğin, \( 2^3 \) ifadesinde 2 taban, 3 ise üstür ve \( 2 \times 2 \times 2 = 8 \) anlamına gelir.

1. Çarpma İşlemi

Kural: Tabanları aynı olan üslü sayılar çarpılırken, üsler toplanır ve ortak tabana üs olarak yazılır.

Matematiksel ifade: \( a^m \times a^n = a^{m+n} \)

Örnekler:

• \( 2^3 \times 2^4 = 2^{3+4} = 2^7 = 128 \)
• \( 5^2 \times 5^{-1} = 5^{2+(-1)} = 5^1 = 5 \)

Uyarı: Üsler toplanır, tabanlar değil!

2. Bölme İşlemi

Kural: Tabanları aynı olan üslü sayılar bölünürken, payın üssünden paydanın üssü çıkarılır ve ortak tabana üs olarak yazılır.

Matematiksel ifade: \( \frac{a^m}{a^n} = a^{m-n} \)

Örnekler:

• \( \frac{3^5}{3^2} = 3^{5-2} = 3^3 = 27 \)
• \( \frac{7^4}{7^6} = 7^{4-6} = 7^{-2} = \frac{1}{7^2} = \frac{1}{49} \)

3. Toplama ve Çıkarma İşlemi

Kural: Üslü sayılarda toplama ve çıkarma işlemi yapabilmek için hem tabanların hem de üslerin aynı olması gerekir. Bu koşul sağlandığında, katsayılar toplanır veya çıkarılır, ortak üslü ifade ise aynen yazılır.

Matematiksel ifade: \( k \cdot a^m \pm l \cdot a^m = (k \pm l) \cdot a^m \)

Örnekler:

• \( 5 \cdot 2^3 + 3 \cdot 2^3 = (5 + 3) \cdot 2^3 = 8 \cdot 8 = 64 \)
• \( 4^2 + 4^2 = 1 \cdot 4^2 + 1 \cdot 4^2 = (1+1) \cdot 4^2 = 2 \cdot 16 = 32 \)
• \( 2 \cdot 5^4 - 5^4 = (2 - 1) \cdot 5^4 = 1 \cdot 625 = 625 \)

Önemli Not: Eğer tabanlar veya üsler farklı ise, önce sayıların değerleri hesaplanır, sonra toplama/çıkarma yapılır. Örneğin, \( 2^3 + 3^2 \) işlemi için \( 8 + 9 = 17 \) şeklinde hesaplanır.

4. Üssün Üssü (Parantezli İfadeler)

Kural: Bir üslü ifadenin tekrar üssü alınırken, üsler çarpılır.

Matematiksel ifade: \( (a^m)^n = a^{m \times n} \)

Örnek: \( (2^3)^2 = 2^{3 \times 2} = 2^6 = 64 \)

Özet Tablosu

• Çarpma: \( a^m \times a^n = a^{m+n} \)
• Bölme: \( \frac{a^m}{a^n} = a^{m-n} \)
• Toplama/Çıkarma: \( k \cdot a^m \pm l \cdot a^m = (k \pm l) \cdot a^m \)
• Üssün Üssü: \( (a^m)^n = a^{m \times n} \)