Üslü Sayılarda Parantezli İfadeler Nasıl Açılır?

Question

Üslü sayılarda parantezin içindeki ifadeyi açarken hangi kurala göre işlem yapacağımı karıştırıyorum. Mesela (2x)³ mü yoksa 2x³ mü farklı mı oluyor? Üssün sadece x'e mi yoksa tüm paranteze mi ait olduğunu nasıl anlayacağım?

Answer 1

Üslü Sayılarda Parantezli İfadelerin Açılımı

Üslü sayılarda parantez içindeki ifadelerin nasıl açılacağını anlamak için üslü ifade kurallarını ve dağılma özelliğini bilmek gerekir. İşte adım adım açıklama:

1. Tek Terimli Parantezler

Eğer parantez içinde tek bir terim varsa, üs dışarı doğrudan uygulanır:

• \((a \cdot b)^n = a^n \cdot b^n\)
• \(\left(\frac{a}{b}\right)^n = \frac{a^n}{b^n}\)

Örnek: \((2x)^3 = 2^3 \cdot x^3 = 8x^3\)

2. Çift Terimli Parantezler (Binom Açılımı)

Parantez içinde iki terim varsa, binom açılımı veya dağılma özelliği kullanılır:

• \((a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2\)
• \((a - b)^2 = a^2 - 2ab + b^2\)
• \((a + b)^3 = a^3 + 3a^2b + 3ab^2 + b^3\)

Örnek: \((x + 1)^2 = x^2 + 2x + 1\)

3. Negatif Üs Durumu

Üs negatifse, ifade ters çevrilir:

• \((a)^{-n} = \frac{1}{a^n}\)
• \(\left(\frac{a}{b}\right)^{-n} = \left(\frac{b}{a}\right)^n\)

Örnek: \((2)^{-3} = \frac{1}{2^3} = \frac{1}{8}\)

4. İç İçe Parantezler

İç içe parantezlerde işlem sırasına dikkat edilir:

• \(\left[(a)^n\right]^m = a^{n \cdot m}\)

Örnek: \(\left[(3)^2\right]^4 = 3^{2 \cdot 4} = 3^8\)

Uyarı: \((a + b)^n \neq a^n + b^n\) (Yanlış kullanım!). Bu kural sadece çarpım veya bölüm durumunda geçerlidir.

Answer 2

Üslü Sayılarda Parantezli İfadeler Çözümlü Test Soruları

Soru 1: \( \left(2^3\right)^4 \) ifadesinin eşiti aşağıdakilerden hangisidir?
a) \( 2^7 \)
b) \( 2^{12} \)
c) \( 8^4 \)
d) \( 4^6 \)
e) \( 6^4 \)
Cevap: b) \( 2^{12} \)
Çözüm: Parantezli üslü ifadelerde üsler çarpılır: \( \left(a^m\right)^n = a^{m \cdot n} \). Bu durumda \( 3 \times 4 = 12 \) olur.

Soru 2: \( \left(\frac{1}{5}\right)^{-2} \) ifadesinin değeri kaçtır?
a) 25
b) -25
c) \( \frac{1}{25} \)
d) -\( \frac{1}{25} \)
e) 5
Cevap: a) 25
Çözüm: Negatif üs, ters çevirme işlemi yapar: \( \left(\frac{a}{b}\right)^{-n} = \left(\frac{b}{a}\right)^n \). \( \left(\frac{5}{1}\right)^2 = 25 \) olur.

Soru 3: \( \left(3x^2y\right)^3 \) ifadesinin açılımı hangisidir?
a) \( 9x^5y^3 \)
b) \( 27x^6y^3 \)
c) \( 3x^6y^3 \)
d) \( 27x^5y \)
e) \( 6x^6y^3 \)
Cevap: b) \( 27x^6y^3 \)
Çözüm: Parantez içindeki tüm terimler üs ile çarpılır: \( (3)^3 \cdot (x^2)^3 \cdot (y)^3 = 27x^6y^3 \).