xⁿ ifadesinin integrali

Question

Hocam bu integrali çözerken hangi kuralı uygulamam gerektiğini karıştırıyorum. Üslü ifadelerde integral almayı anlıyorum ama xⁿ'de n=-1 olduğunda neden logaritmaya dönüşüyor onu tam kavrayamadım. Bu özel durumu ve genel kuralı netleştirmek istiyorum.

Answer 1

📚 xⁿ İfadesinin İntegrali

Matematikte, bir fonksiyonun integralini almak, o fonksiyonun ters türevini bulmak anlamına gelir. xⁿ ifadesinin integralini bulmak, integral hesabının en temel ve önemli kurallarından biridir.

🎯 Kuvvet Kuralı (Power Rule)

Eğer n ≠ -1 ise, xⁿ ifadesinin belirsiz integrali aşağıdaki formülle hesaplanır:

\( \int x^n \, dx = \frac{x^{n+1}}{n+1} + C \)

Burada:

• ➡️ n: Herhangi bir gerçel sayıdır ( -1 hariç ).
• ➡️ C: İntegral sabitidir. Türevi alındığında sıfır olacağı için bu sabiti eklemek zorundayız. 🧩
• ➡️ dx: x'e göre integral alındığını belirtir.

💡 İşlem Adımları

Kuvvet kuralını uygulamak için şu basit adımları izleyebilirsiniz:

1. 📌 Üssü 1 artır: n + 1
2. 📌 Yeni üssü, bu yeni sayıya böl: 1 / (n + 1)
3. 📌 Son olarak integral sabiti C'yi ekle.

📝 Örnekler

🔢 Örnek 1: Pozitif Tam Sayı Üs

∫ x³ dx ifadesinin integralini bulalım.

• Üssü 1 artırırız: 3 + 1 = 4
• Yeni ifadeyi bu yeni üsse böleriz: 1/4
• Sonuç: \( \frac{x^{4}}{4} + C \)

✅ Çözüm: \( \int x^3 \, dx = \frac{x^{4}}{4} + C \)

🔢 Örnek 2: Negatif Üs

∫ x⁻⁴ dx ifadesinin integralini bulalım.

• Üssü 1 artırırız: -4 + 1 = -3
• Yeni ifadeyi bu yeni üsse böleriz: 1/(-3)
• Sonuç: \( \frac{x^{-3}}{-3} + C = -\frac{1}{3x^3} + C \)

✅ Çözüm: \( \int x^{-4} \, dx = -\frac{1}{3x^3} + C \)

🔢 Örnek 3: Kesirli Üs (Köklü İfade)

∫ √x dx ifadesinin integralini bulalım. (√x = x^1/2)

• Üssü 1 artırırız: 1/2 + 1 = 3/2
• Yeni ifadeyi bu yeni üsse böleriz: 1/(3/2) = 2/3
• Sonuç: \( \frac{x^{3/2}}{3/2} + C = \frac{2}{3}x^{3/2} + C = \frac{2}{3}\sqrt{x^3} + C \)

✅ Çözüm: \( \int \sqrt{x} \, dx = \frac{2}{3}x^{3/2} + C \)

⚠️ Önemli İstisna: n = -1 Durumu

Kuvvet kuralı n = -1 için geçerli değildir, çünkü paydada 0 olur ve bu tanımsızdır.

\( \int x^{-1} \, dx = \int \frac{1}{x} \, dx = \ln|x| + C \)

Yani, 1/x'in integrali doğal logaritma fonksiyonudur. 📌

🎓 Özet

• ✅ xⁿ'nin integrali için Kuvvet Kuralı'nı kullan: \( \frac{x^{n+1}}{n+1} + C \)
• ✅ Bu kural, n ≠ -1 olduğu sürece tüm gerçel sayılar için geçerlidir.
• ✅ n = -1 ise cevap ln|x| + C'dir.
• ✅ Sonuca integral sabiti (C)'yi eklemeyi unutma!