xⁿ ifadesinin türevi (n*xⁿ⁻¹)

Question

Bu formülü genellikle sorularda uygulayabiliyorum ama neden böyle olduğunu tam anlayamadım. Üssü katsayı olarak alıp, üssü bir azaltıyoruz ama bu kuralın mantığını kavramakta zorlanıyorum. Özellikle üs negatif veya kesirli olduğunda kafam karışıyor.

Answer 1

# xⁿ İfadesinin Türevi (n*xⁿ⁻¹)

📚 Türev Nedir?

Türev, bir fonksiyonun belirli bir noktadaki anlık değişim oranını ifade eder. Geometrik olarak, fonksiyonun grafiğine çizilen teğetin eğimini verir.

🧮 Kuvvet Fonksiyonunun Türevi

Kuvvet fonksiyonları \( f(x) = x^n \) şeklinde yazılabilen fonksiyonlardır. Bu fonksiyonların türevi için genel kural:

\( \frac{d}{dx}(x^n) = n \cdot x^{n-1} \)

🔍 İspat ve Açıklama

Bu kuralı limit tanımından yola çıkarak ispatlayabiliriz:

\( f'(x) = \lim_{h \to 0} \frac{(x+h)^n - x^n}{h} \)

Binom açılımını kullanarak:

\( (x+h)^n = x^n + n \cdot x^{n-1} \cdot h + \frac{n(n-1)}{2} \cdot x^{n-2} \cdot h^2 + \cdots + h^n \)

Bu ifadeyi türev formülünde yerine koyarsak:

\( f'(x) = \lim_{h \to 0} \frac{x^n + n \cdot x^{n-1} \cdot h + \cdots + h^n - x^n}{h} \)

\( f'(x) = \lim_{h \to 0} \frac{n \cdot x^{n-1} \cdot h + \cdots + h^n}{h} \)

\( f'(x) = \lim_{h \to 0} (n \cdot x^{n-1} + \cdots + h^{n-1}) \)

\( f'(x) = n \cdot x^{n-1} \)

📝 Örnekler

✨ Tam Sayı Üsler

• \( \frac{d}{dx}(x^3) = 3x^2 \)
• \( \frac{d}{dx}(x^5) = 5x^4 \)
• \( \frac{d}{dx}(x) = 1 \cdot x^0 = 1 \)
• \( \frac{d}{dx}(1) = \frac{d}{dx}(x^0) = 0 \cdot x^{-1} = 0 \)

🔢 Kesirli Üsler

• \( \frac{d}{dx}(\sqrt{x}) = \frac{d}{dx}(x^{1/2}) = \frac{1}{2}x^{-1/2} = \frac{1}{2\sqrt{x}} \)
• \( \frac{d}{dx}(\sqrt[3]{x}) = \frac{d}{dx}(x^{1/3}) = \frac{1}{3}x^{-2/3} = \frac{1}{3\sqrt[3]{x^2}} \)

➖ Negatif Üsler

• \( \frac{d}{dx}(\frac{1}{x}) = \frac{d}{dx}(x^{-1}) = -1 \cdot x^{-2} = -\frac{1}{x^2} \)
• \( \frac{d}{dx}(\frac{1}{x^2}) = \frac{d}{dx}(x^{-2}) = -2x^{-3} = -\frac{2}{x^3} \)

💡 Önemli Noktalar

• 📌 Kural, n'nin herhangi bir gerçel sayı olması durumunda geçerlidir
• 📌 Sabit sayıların türevi sıfırdır
• 📌 Türev alma işlemi doğrusaldır: \( \frac{d}{dx}[c \cdot f(x)] = c \cdot \frac{d}{dx}[f(x)] \)
• 📌 Toplamın türevi, türevlerin toplamına eşittir

🎯 Pratik Uygulamalar

Bu kural, fizikte hız ve ivme hesaplamalarında, ekonomide marjinal analizde, mühendislikte optimizasyon problemlerinde ve daha birçok alanda kullanılır.

Önemli: Bu kural sadece \( x^n \) gibi tek terimli ifadeler için geçerlidir. Daha karmaşık fonksiyonlar için zincir kuralı, çarpım kuralı veya bölüm kuralı gibi diğer türev kurallarını kullanmamız gerekir.