📈 Yatay Asimptot Nedir?
Bir fonksiyonun yatay asimptotu, fonksiyonun grafiğinin sonsuzda (x → ∞ veya x → -∞) yaklaştığı yatay bir çizgidir. Başka bir deyişle, x değerleri çok büyük veya çok küçük değerlere giderken, fonksiyonun y değerleri belirli bir sabit sayıya (L'ye) yaklaşır. Bu L değeri, yatay asimptotun denklemidir.
🎯 Yatay Asimptot Nasıl Bulunur?
Bir rasyonel fonksiyonun (polinomların oranı) yatay asimptotunu bulmak için, pay ve paydanın derecelerine bakılır. Rasyonel fonksiyon \( f(x) = \frac{P(x)}{Q(x)} \) şeklinde verilsin.
- 📌 Durum 1: Payın derecesi paydanın derecesinden küçükse
Yatay asimptot y = 0 doğrusudur.
Örnek: \( f(x) = \frac{2x+1}{x^2 - 4} \) → Pay: 1. derece, Payda: 2. derece → y = 0
- 📌 Durum 2: Payın derecesi paydanın derecesine eşitse
Yatay asimptot, payın başkatsayısının paydanın başkatsayısına oranıdır.
Örnek: \( f(x) = \frac{3x^2 - 2x}{5x^2 + 1} \) → Başkatsayılar oranı: \( \frac{3}{5} \) → y = \( \frac{3}{5} \)
- 📌 Durum 3: Payın derecesi paydanın derecesinden büyükse
Bu durumda yatay asimptot yoktur. Bunun yerine, genellikle eğik veya eğri asimptot vardır.
💡 Önemli Noktalar
- ✅ Bir fonksiyonun birden fazla yatay asimptotu olabilir. Örneğin, x → ∞ ve x → -∞ için farklı değerlere yaklaşabilir.
- ✅ Yatay asimptot, fonksiyonun grafiğini asla kesmek zorunda değildir. Grafiği sonsuzda "durdurmak" yerine, ona yaklaşır.
- ✅ Yatay asimptot sadece rasyonel fonksiyonlara özgü değildir. Üstel fonksiyonlar gibi başka fonksiyon türlerinde de bulunabilir.
🧮 Örnekler
Örnek 1: \( f(x) = \frac{4x^2 - 1}{2x^2 + 3x} \)
Pay ve paydanın dereceleri eşit (2. derece). Başkatsayılar oranı: \( \frac{4}{2} = 2 \)
➡️ Yatay asimptot: y = 2
Örnek 2: \( g(x) = \frac{x - 5}{x^3 + 2} \)
Payın derecesi (1), paydanın derecesinden (3) küçük.
➡️ Yatay asimptot: y = 0
Örnek 3: \( h(x) = \frac{x^3 + 1}{x^2 - 4} \)
Payın derecesi (3), paydanın derecesinden (2) büyük.
➡️ Yatay asimptot yoktur.
