🧭 Çemberin Geometrik Yer Denklemi
Çember, düzlemde sabit bir noktaya (merkez) eşit uzaklıkta bulunan noktaların kümesidir. Bu tanımı kullanarak çemberin denklemini kolayca bulabiliriz.
* 📏
Merkez ve Yarıçap: Merkezi $M(a, b)$ ve yarıçapı $r$ olan bir çember düşünelim.
* 📍
Nokta: Çember üzerindeki herhangi bir nokta $P(x, y)$ olsun.
* 📐
Uzaklık Formülü: $M$ ve $P$ arasındaki uzaklık sabittir ve $r$'ye eşittir. İki nokta arasındaki uzaklık formülünü kullanarak:
$\sqrt{(x - a)^2 + (y - b)^2} = r$
* 🧮
Çember Denklemi: Her iki tarafın karesini alarak çemberin genel denklemini elde ederiz:
$(x - a)^2 + (y - b)^2 = r^2$
Bu denklem, merkezi $(a, b)$ ve yarıçapı $r$ olan bir çemberi temsil eder.
🎯 Örnek Problem
Merkezi $(2, -3)$ olan ve yarıçapı $5$ birim olan çemberin denklemini bulunuz.
* 📝
Çözüm:
Çemberin genel denklemi $(x - a)^2 + (y - b)^2 = r^2$ idi. Verilenleri yerine koyalım:
$(x - 2)^2 + (y - (-3))^2 = 5^2$
$(x - 2)^2 + (y + 3)^2 = 25$
Bu, istenen çemberin denklemidir.
🌀 Karmaşık Sayılar ve Geometrik Yer
Karmaşık sayılar, $a + bi$ şeklinde ifade edilen, $a$ ve $b$'nin reel sayılar olduğu ve $i$'nin sanal birim ($i^2 = -1$) olduğu sayılardır. Karmaşık sayılar, karmaşık düzlemde bir nokta olarak temsil edilebilirler. Bu düzlemde, yatay eksen reel eksen ve dikey eksen sanal eksendir.
* 📍
Karmaşık Sayıların Gösterimi: Bir $z = a + bi$ karmaşık sayısı, karmaşık düzlemde $(a, b)$ noktası ile temsil edilir.
* 📏
Modül ve Argüman: Bir $z$ karmaşık sayısının modülü, $|z| = \sqrt{a^2 + b^2}$ olarak tanımlanır ve karmaşık sayının orijine olan uzaklığını temsil eder. Argümanı ise, karmaşık sayının reel eksenle yaptığı açıdır ve $\theta$ ile gösterilir.
💫 Karmaşık Sayılarla Çember Denklemi
Karmaşık sayılarla geometrik yer problemlerini çözerken, karmaşık sayının modülünü ve argümanını kullanmak faydalı olabilir.
* 📝
Çember Denklemi (Karmaşık): Merkezi $z_0$ olan ve yarıçapı $r$ olan bir çemberi düşünelim. Bu çember üzerindeki herhangi bir $z$ karmaşık sayısı için:
$|z - z_0| = r$
Bu denklem, $z$ karmaşık sayısının $z_0$ merkezine olan uzaklığının $r$ olduğunu ifade eder.
🧮 Örnek Problem
$|z - (1 + i)| = 2$ denklemini sağlayan $z$ karmaşık sayılarının geometrik yerini bulunuz.
* 📝
Çözüm:
Bu denklem, merkezi $1 + i$ olan ve yarıçapı $2$ olan bir çemberi temsil eder. Karmaşık düzlemde merkezi $(1, 1)$ olan ve yarıçapı $2$ birim olan bir çemberdir.
