KAK teoremi, bir üçgenin alanını hesaplamak için bize pratik bir yol sunar. Teorem der ki: Bir üçgende iki kenar uzunluğu (a ve b) ve bu kenarlar arasındaki açının ölçüsü (θ) biliniyorsa, üçgenin alanı şu formülle hesaplanır:
Bu formülün nereden geldiğini merak ediyor olabilirsiniz. Aslında, temel trigonometri bilgilerimizle bu formülü kolayca türetebiliriz. Bir üçgenin alanının, taban uzunluğu ile yüksekliğin çarpımının yarısı olduğunu biliyoruz. KAK durumunda, yüksekliği bulmak için sinüs fonksiyonunu kullanırız:
Yükseklik = $a \cdot \sin(\theta)$Bu değeri alan formülünde yerine koyduğumuzda KAK teoremi formülüne ulaşırız.
Artık KAK teoreminin ne olduğunu ve nasıl uygulandığını biliyoruz. Şimdi de bu bilgiyi pekiştirmek için birkaç yeni nesil soru tipine göz atalım.
Bir park tasarımcısı, üçgen şeklinde bir çiçek bahçesi planlıyor. Bahçenin iki kenarının uzunluğu 8 metre ve 12 metre olarak belirlenmiş. Bu iki kenar arasındaki açının 60° olması isteniyor. Buna göre, çiçek bahçesinin alanı kaç metrekare olmalıdır?
Çözüm:
$\sin(60°) = \frac{\sqrt{3}}{2}$
Alan = $\frac{1}{2} \cdot 8 \cdot 12 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = 24\sqrt{3}$ metrekare
Bir haritacı, bir gölün kıyısındaki iki nokta arasındaki mesafeyi ölçmek istiyor. Bu iki noktayı A ve B olarak adlandırıyor. A noktasından bir C noktasına olan uzaklık 150 metre, B noktasından C noktasına olan uzaklık ise 200 metre olarak ölçülüyor. A ve B noktalarından C noktasına çizilen doğrular arasındaki açı 120° olduğuna göre, A ve B noktaları arasındaki mesafe yaklaşık olarak kaç metredir?
Çözüm:
Bu soru, KAK teoremini doğrudan uygulamamızı gerektirmiyor. Ancak, KAK teoremini kullanarak üçgenin alanını bulabilir ve daha sonra kosinüs teoremi ile A ve B arasındaki mesafeyi hesaplayabiliriz. Öncelikle alanı bulalım:
$\sin(120°) = \frac{\sqrt{3}}{2}$
Alan = $\frac{1}{2} \cdot 150 \cdot 200 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = 7500\sqrt{3}$ metrekare
Şimdi kosinüs teoremini kullanarak AB mesafesini (c) bulalım:
$c^2 = a^2 + b^2 - 2ab \cdot \cos(\theta)$ $c^2 = 150^2 + 200^2 - 2 \cdot 150 \cdot 200 \cdot \cos(120°)$$\cos(120°) = -\frac{1}{2}$
$c^2 = 22500 + 40000 + 30000 = 92500$ $c = \sqrt{92500} \approx 304.14$ metreAşağıdaki şekilde verilenlere göre, taralı alan kaç birim karedir?
(Şekilde bir ABC üçgeni verilmiştir. AB = 6 birim, AC = 8 birim ve BAC açısı 45 derecedir. Taralı alan, ABC üçgeninin alanıdır.)
A) $12\sqrt{2}$ B) $16\sqrt{2}$ C) $20\sqrt{2}$ D) $24\sqrt{2}$ E) $28\sqrt{2}$
Çözüm:
Bu soruda, KAK teoremini doğrudan uygulamamız gerekiyor. İki kenar uzunluğu ve aralarındaki açı verilmiş. Taralı alan, ABC üçgeninin alanına eşittir.
$\sin(45°) = \frac{\sqrt{2}}{2}$
Alan = $\frac{1}{2} \cdot 6 \cdot 8 \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = 12\sqrt{2}$ birim kare
Doğru cevap: A) $12\sqrt{2}$
KAK teoremi, üçgenin alanını hesaplamak için güçlü bir araçtır. Özellikle iki kenar ve aralarındaki açı biliniyorsa, bu teorem işimizi oldukça kolaylaştırır. Unutmayın, geometri problemleri çözerken her zaman verilenleri dikkatlice analiz etmek ve doğru formülü uygulamak önemlidir.
