🧭 Merkezi ve Yarıçapı Verilen Çemberin Eksenleri Kestiği Noktaları Bulma Rehberi
Merkezi $M(a, b)$ ve yarıçapı $r$ olan bir çemberin denklemi:
$(x - a)^2 + (y - b)^2 = r^2$
Bu denklemi kullanarak, çemberin eksenleri kestiği noktaları bulabiliriz.
🧮 X Eksenini Kestiği Noktaları Bulma
X eksenini kestiği noktalarda $y = 0$ olur. Bu değeri çember denkleminde yerine yazarak $x$ değerlerini buluruz:
$(x - a)^2 + (0 - b)^2 = r^2$
$(x - a)^2 + b^2 = r^2$
$(x - a)^2 = r^2 - b^2$
Şimdi, her iki tarafın karekökünü alalım:
$x - a = \pm \sqrt{r^2 - b^2}$
$x = a \pm \sqrt{r^2 - b^2}$
Buradan iki farklı $x$ değeri elde ederiz:
- 📍 $x_1 = a + \sqrt{r^2 - b^2}$
- 📍 $x_2 = a - \sqrt{r^2 - b^2}$
Eğer $r^2 - b^2 > 0$ ise, çember X eksenini iki farklı noktada keser. Eğer $r^2 - b^2 = 0$ ise, çember X eksenine teğettir. Eğer $r^2 - b^2 < 0$ ise, çember X eksenini kesmez.
X eksenini kestiği noktalar: $(x_1, 0)$ ve $(x_2, 0)$.
📐 Y Eksenini Kestiği Noktaları Bulma
Y eksenini kestiği noktalarda $x = 0$ olur. Bu değeri çember denkleminde yerine yazarak $y$ değerlerini buluruz:
$(0 - a)^2 + (y - b)^2 = r^2$
$a^2 + (y - b)^2 = r^2$
$(y - b)^2 = r^2 - a^2$
Şimdi, her iki tarafın karekökünü alalım:
$y - b = \pm \sqrt{r^2 - a^2}$
$y = b \pm \sqrt{r^2 - a^2}$
Buradan iki farklı $y$ değeri elde ederiz:
- 📍 $y_1 = b + \sqrt{r^2 - a^2}$
- 📍 $y_2 = b - \sqrt{r^2 - a^2}$
Eğer $r^2 - a^2 > 0$ ise, çember Y eksenini iki farklı noktada keser. Eğer $r^2 - a^2 = 0$ ise, çember Y eksenine teğettir. Eğer $r^2 - a^2 < 0$ ise, çember Y eksenini kesmez.
Y eksenini kestiği noktalar: $(0, y_1)$ ve $(0, y_2)$.
📝 Örnek Bir Problem ve Çözümü
Merkezi $M(2, 3)$ ve yarıçapı $r = 5$ olan çemberin eksenleri kestiği noktaları bulunuz.
📌 X Eksenini Kestiği Noktalar
$x = a \pm \sqrt{r^2 - b^2}$
$x = 2 \pm \sqrt{5^2 - 3^2}$
$x = 2 \pm \sqrt{25 - 9}$
$x = 2 \pm \sqrt{16}$
$x = 2 \pm 4$
- 🎯 $x_1 = 2 + 4 = 6$
- 🎯 $x_2 = 2 - 4 = -2$
X eksenini kestiği noktalar: $(6, 0)$ ve $(-2, 0)$.
📍 Y Eksenini Kestiği Noktalar
$y = b \pm \sqrt{r^2 - a^2}$
$y = 3 \pm \sqrt{5^2 - 2^2}$
$y = 3 \pm \sqrt{25 - 4}$
$y = 3 \pm \sqrt{21}$
- 🎯 $y_1 = 3 + \sqrt{21}$
- 🎯 $y_2 = 3 - \sqrt{21}$
Y eksenini kestiği noktalar: $(0, 3 + \sqrt{21})$ ve $(0, 3 - \sqrt{21})$.
