İstatistik ve veri analizinde, bir veri noktasının dağılım içindeki konumunu anlamak için kullanılan temel bir ölçüttür. Bir verinin ortalamadan kaç standart sapma uzakta olduğunu gösterir. Bu nedenle "standart puan" olarak da adlandırılır.
Z puanının en büyük avantajı, farklı ölçeklerdeki verileri karşılaştırmamıza olanak tanımasıdır. Örneğin, bir öğrencinin matematik ve edebiyat notlarını doğrudan karşılaştıramayız, ancak bu dersler için hesaplanan Z puanları ile öğrencinin her iki dersteki göreli başarısını ölçebiliriz.
Z puanını hesaplamak için kullanılan temel formül oldukça basittir:
\( z = \frac{x - \mu}{\sigma} \)
Bu formülde:
Standart sapma, bir veri setindeki değerlerin ortalamadan ne kadar saptığını ölçen bir dağılım ölçüsüdür. Formülü:
\( \sigma = \sqrt{\frac{\sum_{i=1}^{n}(x_i - \mu)^2}{n}} \)
Öncelikle analiz etmek istediğiniz veri setini belirleyin. Örneğin, bir sınıftaki 10 öğrencinin matematik sınav notları:
78, 85, 92, 65, 88, 72, 95, 81, 70, 84
Tüm değerleri toplayıp veri sayısına bölün:
\( \mu = \frac{78 + 85 + 92 + 65 + 88 + 72 + 95 + 81 + 70 + 84}{10} = \frac{810}{10} = 81 \)
Her bir değerin ortalamadan farkının karesini alın, toplayın, veri sayısına bölün ve karekökünü alın:
\( \sigma = \sqrt{\frac{(78-81)^2 + (85-81)^2 + ... + (84-81)^2}{10}} = \sqrt{\frac{9+16+121+256+49+81+196+0+121+9}{10}} = \sqrt{\frac{858}{10}} = \sqrt{85.8} ≈ 9.26 \)
Örneğin 92 puan alan öğrenci için:
\( z = \frac{92 - 81}{9.26} = \frac{11}{9.26} ≈ 1.19 \)
Bir öğrencinin sınav puanının Z puanı 1.5 ise, bu öğrenci sınıf ortalamasından 1.5 standart sapma daha yüksek performans göstermiştir. Bu, öğrencinin sınıfın yaklaşık %93'ünden daha iyi olduğu anlamına gelir.
Bir bebeğin doğum kilosunun Z puanı -2 ise, bu bebek aynı gebelik haftasındaki bebeklerin ortalamasından 2 standart sapma daha düşük kiloludur ve bu durum dikkatle izlenmelidir.
Bir hisse senedinin getirisinin Z puanı hesaplanarak, bu getirinin tarihsel ortalamaya göre ne kadar sıra dışı olduğu değerlendirilebilir.
Z puanı bazen negatif değerler ve ondalıklar içerdiği için yorumlaması zor olabilir. Bu nedenle Z puanı genellikle daha kullanıcı dostu ölçeklere dönüştürülür. En yaygın dönüşümlerden biri T puanıdır:
\( T = 10z + 50 \)
Bu dönüşümle, T puanı genellikle 20-80 aralığında değerler alır ve 50 ortalamaya karşılık gelir.
Z puanı, istatistiğin temel taşlarından biridir ve doğru hesaplandığında, verilerin anlamlı bir şekilde karşılaştırılmasına, yorumlanmasına ve karar verilmesine olanak tanır. İster akademik araştırmada, ister iş dünyasında analiz yaparken, bu basit ama güçlü istatistiksel aracı kullanmak veri okuryazarlığınızı önemli ölçüde artıracaktır.
