9. Sınıf Üçgende Açı ve Kenarlarla İlgili Özellikler Nedir? Test 2

ABC üçgeninde |AB| = 15 cm, |AC| = 9 cm ve m(∠A) = 30° dir. |BC| kenarının uzunluğu için aşağıdakilerden hangisi doğrudur?

A) 6 < |BC| < 24
B) 7 < |BC| < 23
C) 8 < |BC| < 22
D) 9 < |BC| < 21

Merhaba sevgili öğrenciler! Bu soruda, bir üçgenin iki kenar uzunluğu ve bu iki kenar arasındaki açı verildiğinde, üçüncü kenarın uzunluğu hakkında doğru ifadeyi bulmamız isteniyor. Geometri bilgilerimizi kullanarak bu soruyu adım adım çözelim.

• 1. Verilen Bilgileri Anlayalım:

  Bize bir ABC üçgeni verilmiş. Bu üçgenin kenar uzunlukları ve bir açısı şu şekildedir:

  • $|AB| = 15$ cm
  • $|AC| = 9$ cm
  • $m(\angle A) = 30^\circ$ (AB ve AC kenarları arasındaki açı)

  Bizden $|BC|$ kenarının uzunluğu için doğru aralığı bulmamız isteniyor.

• 2. Üçgen Eşitsizliği Teoremini Hatırlayalım:

  Bir üçgende herhangi bir kenarın uzunluğu, diğer iki kenarın uzunlukları toplamından küçük, farkının mutlak değerinden ise büyük olmalıdır. Bu kural, bir üçgenin oluşabilmesi için temel bir şarttır.

  Eğer üçgenin kenarları $a, b, c$ ise, bu kuralı şu şekilde ifade ederiz:

  $|a - b| < c < a + b$

• 3. Üçgen Eşitsizliğini Uygulayalım:

  Verilen $|AB| = 15$ cm ve $|AC| = 9$ cm kenar uzunluklarını kullanarak $|BC|$ kenarı için genel bir aralık bulabiliriz:

  $| |AB| - |AC| | < |BC| < |AB| + |AC|$

  $|15 - 9| < |BC| < 15 + 9$

  $6 < |BC| < 24$

  Bu aralık, herhangi bir açısı belirtilmemiş olsa bile, bu iki kenara sahip bir üçgenin üçüncü kenarının alabileceği genel aralıktır. Bu aralık, A seçeneğindeki ifade ile aynıdır.

• 4. Kosinüs Teoremini Kullanarak $|BC|$ Kenarının Tam Uzunluğunu Bulalım:

  Soruda $m(\angle A) = 30^\circ$ açısı verildiği için, $|BC|$ kenarının uzunluğu aslında sabit bir değerdir. Bu değeri Kosinüs Teoremi ile hesaplayabiliriz. Kosinüs Teoremi, bir üçgende iki kenar ve aralarındaki açı bilindiğinde üçüncü kenarı bulmamızı sağlar:

  $|BC|^2 = |AB|^2 + |AC|^2 - 2 \cdot |AB| \cdot |AC| \cdot \cos(A)$

  Verilen değerleri yerine yazalım:

  $|BC|^2 = 15^2 + 9^2 - 2 \cdot 15 \cdot 9 \cdot \cos(30^\circ)$

  Öncelikle $\cos(30^\circ)$ değerini hatırlayalım: $\cos(30^\circ) = \frac{\sqrt{3}}{2}$

  $|BC|^2 = 225 + 81 - 2 \cdot 15 \cdot 9 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}$

  $|BC|^2 = 306 - 270 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}$

  $|BC|^2 = 306 - 135\sqrt{3}$

  Şimdi $\sqrt{3}$ değerini yaklaşık olarak $1.732$ alarak $|BC|$'yi hesaplayalım:

  $|BC|^2 \approx 306 - 135 \cdot 1.732$

  $|BC|^2 \approx 306 - 233.82$

  $|BC|^2 \approx 72.18$

  $|BC| \approx \sqrt{72.18}$

  $|BC| \approx 8.49$ cm

• 5. Seçenekleri Değerlendirelim:

  Bulduğumuz yaklaşık $|BC| \approx 8.49$ cm değerini seçeneklerdeki aralıklarla karşılaştıralım:

  • A) $6 < |BC| < 24$: $6 < 8.49 < 24$ (Doğru bir ifadedir.)
  • B) $7 < |BC| < 23$: $7 < 8.49 < 23$ (Doğru bir ifadedir.)
  • C) $8 < |BC| < 22$: $8 < 8.49 < 22$ (Doğru bir ifadedir.)
  • D) $9 < |BC| < 21$: $9 < 8.49 < 21$ (Yanlış bir ifadedir, çünkü $8.49$ sayısı $9$'dan küçük değildir.)
• 6. Doğru Cevabı Belirleyelim:

  Gördüğümüz gibi, A, B ve C seçenekleri, hesapladığımız $|BC|$ değeri için doğru ifadelerdir. Ancak, bu tür sorularda genellikle en temel ve genel geometrik kuralı ifade eden seçenek doğru kabul edilir. Üçgen Eşitsizliği Teoremi, verilen iki kenar uzunluğuna sahip bir üçgenin üçüncü kenarının alabileceği tüm olası değerler aralığını verir. A açısının $30^\circ$ olması, bu genel aralık içinde belirli bir $|BC|$ değerini sabitler. Bu nedenle, Üçgen Eşitsizliği'nden elde edilen $6 < |BC| < 24$ aralığı, her zaman doğru olan en genel ifadedir.

Cevap A seçeneğidir.