8-15-17 üçgeni nedir Test 2

Bir 8-15-17 üçgeninde, 8 birimlik kenara ait yükseklik hipotenüsü hangi oranda böler?

A) 64:225
B) 64:289
C) 225:289
D) 8:15

Bu soruyu çözmek için öncelikle üçgenin özelliklerini ve Öklid bağıntılarını hatırlayalım.

• Üçgenin Tipi ve Kenarları:

  Verilen üçgenin kenar uzunlukları 8, 15 ve 17 birimdir. Bu bir dik üçgendir çünkü Pisagor teoremini sağlar: $8^2 + 15^2 = 64 + 225 = 289 = 17^2$. Bu durumda, hipotenüs 17 birimdir ve dik açının karşısındadır. Diğer kenarlar (dik kenarlar) 8 ve 15 birimdir.

• Yüksekliğin Tanımı ve Yeri:

  Soruda "8 birimlik kenara ait yükseklik hipotenüsü hangi oranda böler?" ifadesi, dik açının olduğu köşeden hipotenüse indirilen yüksekliği kastetmektedir. Çünkü sadece bu yükseklik hipotenüsü iki parçaya ayırır. Diğer yükseklikler (dik kenarların kendileri) hipotenüsü bölmez.

• Öklid Bağıntıları:

  Bir dik üçgende, dik köşeden hipotenüse indirilen yükseklik, hipotenüsü iki parçaya ayırır. Bu parçaların uzunlukları ile dik kenarlar arasında Öklid bağıntıları bulunur. Bu bağıntılardan biri şöyledir: Bir dik kenarın karesi, hipotenüsün tamamı ile o dik kenara komşu olan hipotenüs parçasının çarpımına eşittir.

  Şimdi bu bağıntıyı uygulayalım:

  • Hipotenüsün uzunluğu $c = 17$ birimdir.
  • 8 birimlik dik kenara komşu olan hipotenüs parçasının uzunluğuna $p_1$ diyelim.
  • Öklid bağıntısına göre: $8^2 = p_1 \cdot 17 \implies 64 = 17p_1 \implies p_1 = \frac{64}{17}$.
  • 15 birimlik dik kenara komşu olan hipotenüs parçasının uzunluğuna $p_2$ diyelim.
  • Öklid bağıntısına göre: $15^2 = p_2 \cdot 17 \implies 225 = 17p_2 \implies p_2 = \frac{225}{17}$.
• Oranın Hesaplanması:

  Yükseklik hipotenüsü $p_1$ ve $p_2$ oranında böler. Soruda "8 birimlik kenara ait yükseklik" ifadesi, genellikle 8 birimlik kenara komşu olan parçanın (yani $p_1$'in) önce belirtilmesini ima eder. Bu durumda oran $p_1 : p_2$ olacaktır.

  • Oran $= p_1 : p_2 = \frac{64}{17} : \frac{225}{17}$
  • Oran $= 64 : 225$

Bu oran, seçeneklerdeki A şıkkına uymaktadır.

Cevap A seçeneğidir.