Merhaba sevgili öğrenciler!
Bu soruda, bir kürenin yarıçapı iki katına çıkarıldığında hacminin nasıl değiştiğini adım adım inceleyeceğiz. Geometrideki temel formülleri kullanarak bu değişimi kolayca bulabiliriz.
- 1. Adım: Kürenin Hacim Formülünü Hatırlayalım
- Bir kürenin hacmi ($V$), yarıçapı ($r$) olmak üzere şu formülle hesaplanır: $V = \frac{4}{3}\pi r^3$.
- Bu formül, kürenin hacminin yarıçapın küpüyle orantılı olduğunu gösterir.
- 2. Adım: Başlangıç Durumunu Belirleyelim
- Başlangıçtaki kürenin yarıçapına $r_1$ diyelim.
- Bu durumda, başlangıçtaki hacim $V_1 = \frac{4}{3}\pi r_1^3$ olur.
- 3. Adım: Yarıçapı İki Katına Çıkaralım
- Soruya göre, kürenin yarıçapı iki katına çıkarılıyor.
- Yeni yarıçap $r_2$ olsun. O zaman $r_2 = 2r_1$ olur.
- 4. Adım: Yeni Hacmi Hesaplayalım
- Yeni yarıçap ($r_2$) ile kürenin yeni hacmini ($V_2$) hesaplayalım:
- $V_2 = \frac{4}{3}\pi r_2^3$
- $r_2$ yerine $2r_1$ yazalım: $V_2 = \frac{4}{3}\pi (2r_1)^3$
- Parantez içindeki ifadeyi açalım: $(2r_1)^3 = 2^3 \cdot r_1^3 = 8r_1^3$
- Şimdi bu değeri formülde yerine koyalım: $V_2 = \frac{4}{3}\pi (8r_1^3)$
- Sayıları düzenleyelim: $V_2 = 8 \cdot \left(\frac{4}{3}\pi r_1^3\right)$
- 5. Adım: Hacimlerin Karşılaştırması
- Başlangıçtaki hacim $V_1 = \frac{4}{3}\pi r_1^3$ idi.
- Yeni hacim $V_2 = 8 \cdot \left(\frac{4}{3}\pi r_1^3\right)$ oldu.
- Gördüğümüz gibi, $V_2 = 8 \cdot V_1$.
- Bu da demektir ki, kürenin yarıçapı iki katına çıkarıldığında hacmi 8 katına çıkar.
Bu tür hacim problemlerinde, boyutların küpüyle orantılı olduğunu unutmayın. Eğer yarıçap 3 katına çıksaydı, hacim $3^3 = 27$ katına çıkardı.
Cevap D seçeneğidir.
