Bir roketin yüksekliği h(t) = -5t² + 100t + 50 denklemiyle veriliyor. t=3 saniyedeki anlık hızı kaç m/s'dir?
A) 70Sevgili öğrenciler, bu soruda bir roketin yüksekliğini veren bir denklemimiz var ve belirli bir andaki anlık hızını bulmamız isteniyor. Anlık hız, konum (yükseklik) fonksiyonunun zamana göre türevi alınarak bulunur. Haydi adım adım çözelim!
Adım 1: Hız fonksiyonunu bulma.
Roketin yüksekliği $h(t) = -5t^2 + 100t + 50$ denklemiyle verilmiştir. Anlık hızı bulmak için bu fonksiyonun zamana ($t$) göre türevini almamız gerekir. Hız fonksiyonunu $v(t)$ ile gösterelim:
$v(t) = \frac{dh}{dt} = \frac{d}{dt}(-5t^2 + 100t + 50)$
Türev alma kurallarını hatırlayalım: Bir $c \cdot t^n$ ifadesinin türevi $c \cdot n \cdot t^{n-1}$'dir ve sabit bir sayının türevi $0$'dır.
Şimdi terim terim türev alalım:
İlk terim olan $-5t^2$'nin türevi: $-5 \times 2 \times t^{2-1} = -10t$
İkinci terim olan $100t$'nin türevi: $100 \times 1 \times t^{1-1} = 100t^0 = 100$
Üçüncü terim olan $50$ (sabit sayı) türevi: $0$
Bu durumda hız fonksiyonumuz:
$v(t) = -10t + 100$ m/s olur.
Adım 2: $t=3$ saniyedeki anlık hızı hesaplama.
Şimdi $t=3$ saniyedeki anlık hızı bulmak için bulduğumuz hız fonksiyonunda $t$ yerine $3$ yazalım:
$v(3) = -10(3) + 100$
$v(3) = -30 + 100$
$v(3) = 70$ m/s
Bu, roketin $t=3$ saniyede sahip olduğu anlık hızdır.
Cevap A seçeneğidir.
