Bir elektronik devredeki empedans değeri Z = 3 + 4i olarak verilmiştir. Bu empedansın 2 + i empedansıyla seri bağlandığı durumda toplam empedans kaç olur?
A) 5 + 3iAçıklamalı çözümümüze başlayalım:
Bu soruda, bir elektronik devredeki iki farklı empedansın seri olarak bağlandığı belirtilmiştir. Empedanslar, elektronik devrelerde akımın akışına karşı gösterilen toplam direnci ifade eden karmaşık sayılardır. Bize verilen empedans değerleri şunlardır:
Birinci empedans: $Z_1 = 3 + 4i$
İkinci empedans: $Z_2 = 2 + i$
Amacımız, bu iki empedansın seri bağlanması durumunda devrenin toplam (eşdeğer) empedansını bulmaktır.
Elektronik devrelerde, iki veya daha fazla empedans seri olarak bağlandığında, toplam empedans (eşdeğer empedans), bu empedansların basitçe toplanmasıyla bulunur. Bu kural, dirençlerin seri bağlanmasıyla aynı mantığa sahiptir. Matematiksel olarak ifade edersek, toplam empedans ($Z_{toplam}$) şu şekilde hesaplanır:
$Z_{toplam} = Z_1 + Z_2$
Empedanslar karmaşık sayılarla ifade edildiği için, toplama işlemini karmaşık sayılar toplama kurallarına göre yapmamız gerekmektedir.
Şimdi, Adım 1'de tanımladığımız empedans değerlerini Adım 2'deki toplama formülünde yerine koyalım:
$Z_{toplam} = (3 + 4i) + (2 + i)$
Karmaşık sayıları toplarken, gerçel kısımları (içinde 'i' olmayan kısımlar) kendi aralarında, sanal kısımları (içinde 'i' olan kısımlar) ise kendi aralarında toplarız:
Gerçel kısımların toplamı: $3 + 2 = 5$
Sanal kısımların toplamı: $4i + i = (4+1)i = 5i$
Bu iki sonucu birleştirdiğimizde, toplam empedansımız şu şekilde bulunur:
$Z_{toplam} = 5 + 5i$
Hesaplamalarımız sonucunda devrenin toplam empedans değerini $5 + 5i$ olarak bulduk. Şimdi bu sonucu bize verilen seçeneklerle karşılaştıralım:
A) $5 + 3i$
B) $6 + 5i$
C) $5 + 5i$
D) $6 + 4i$
Görüldüğü üzere, bulduğumuz $5 + 5i$ değeri C seçeneği ile tamamen eşleşmektedir.
Cevap C seçeneğidir.
