Karmaşık sayılar, gerçek sayıların bir genişlemesidir ve a + bi şeklinde ifade edilirler. Burada a gerçek kısım, b ise sanal kısımdır. i ise sanal birim olup \( i^2 = -1 \) özelliğine sahiptir.
İki karmaşık sayıyı çarparken, tıpkı iki terimli ifadeleri çarpar gibi dağılma özelliğini kullanırız. Ardından \( i^2 \) yerine -1 yazarak sadeleştirme yaparız.
İki karmaşık sayımız olsun:
Bu iki sayının çarpımı:
\( z_1 \cdot z_2 = (a + bi) \cdot (c + di) \)
Dağılma özelliğini uygulayalım:
\( = a \cdot c + a \cdot di + bi \cdot c + bi \cdot di \)
\( = ac + adi + bci + bdi^2 \)
\( i^2 = -1 \) olduğunu biliyoruz, yerine koyalım:
\( = ac + adi + bci + bd(-1) \)
\( = ac + adi + bci - bd \)
Son olarak, gerçek kısımları ve sanal kısımları kendi aralarında toplayarak sonucu yazalım:
\( z_1 \cdot z_2 = (ac - bd) + (ad + bc)i \) ✅
Örnek: \( z_1 = 3 + 2i \) ve \( z_2 = 1 - 4i \) sayılarını çarpalım.
Çözüm:
\( z_1 \cdot z_2 = (3 + 2i) \cdot (1 - 4i) \)
Dağılma özelliğini uygulayalım:
\( = 3 \cdot 1 + 3 \cdot (-4i) + 2i \cdot 1 + 2i \cdot (-4i) \)
\( = 3 - 12i + 2i - 8i^2 \)
\( i^2 = -1 \) yazalım:
\( = 3 - 12i + 2i - 8(-1) \)
\( = 3 - 12i + 2i + 8 \)
Gerçel ve sanal kısımları ayrı ayrı toplayalım:
\( = (3 + 8) + (-12 + 2)i \)
\( = 11 - 10i \) 🎉
İki karmaşık sayıyı çarpmak için aşağıdaki formülü ezberleyebilirsiniz:
\( (a + bi)(c + di) = (ac - bd) + (ad + bc)i \) 📝
