Bir okulda 120 öğrenci bulunmaktadır. Matematik kulübüne üye olan öğrenci sayısı 25, müzik kulübüne üye olan öğrenci sayısı 30'dur. Matematik kulübü üyeleri ile müzik kulübü üyelerinin kartezyen çarpımının eleman sayısı 600 olduğuna göre, her iki kulübe de üye olan öğrenci sayısı kaçtır?
A) 5Bu soruda, kulüplere üye öğrenci sayıları ve kartezyen çarpım bilgisi verilerek her iki kulübe de üye olan öğrenci sayısını bulmamız isteniyor. Adım adım ilerleyelim:
Öncelikle soruda bize verilen bilgileri netleştirelim:
- Toplam öğrenci sayısı: 120 (Bu bilgi, sorunun çözümünde doğrudan kullanılmayabilir, ancak genel durumu belirtir.)
- Matematik kulübüne üye öğrenci sayısı (M kümesinin eleman sayısı): $|M| = 25$
- Müzik kulübüne üye öğrenci sayısı (Z kümesinin eleman sayısı): $|Z| = 30$
- Her iki kulübe de üye olan öğrenci sayısı (M ve Z kümelerinin kesişiminin eleman sayısı): $|M \cap Z| = x$ (Bunu bulmamız gerekiyor.)
Soruda "Matematik kulübü üyeleri ile müzik kulübü üyelerinin kartezyen çarpımının eleman sayısı 600" olarak verilmiş.
Normalde, iki kümenin kartezyen çarpımının eleman sayısı, kümelerin eleman sayılarının çarpımına eşittir: $|M \times Z| = |M| \times |Z|$.
Eğer bu ifadeyi doğrudan $|M| \times |Z| = 600$ olarak alırsak, $25 \times 30 = 750$ olur ki bu 600'e eşit değildir. Bu bir çelişki yaratır.
Bu tür durumlarda, sorunun genellikle, kümelerin belirli alt kümelerinin kartezyen çarpımını kastettiği varsayılır. Seçeneklerdeki tam sayı cevapları göz önüne alındığında, bu çelişkiyi giderecek bir yorum yapmalıyız.
En olası yorumlardan biri, kartezyen çarpımın, bir kulübün sadece o kulübe üye olan öğrencileri ile diğer kulübün tüm üyeleri arasında olduğudur. Bu yorum, genellikle bu tür "çelişkili" görünen sorularda doğru cevaba ulaştırır.
Varsayalım ki kartezyen çarpım, sadece Matematik kulübüne üye olan öğrenciler kümesi ($M \setminus Z$) ile Müzik kulübüne üye olan öğrenciler kümesi ($Z$) arasındadır.
- Sadece Matematik kulübüne üye olan öğrenci sayısı: $|M \setminus Z| = |M| - |M \cap Z| = 25 - x$.
- Müzik kulübüne üye olan öğrenci sayısı: $|Z| = 30$.
Bu iki kümenin kartezyen çarpımının eleman sayısı 600 olarak verildiğine göre, denklemimiz şöyle olur:
$$(25 - x) \times 30 = 600$$
Denklemi çözerek $x$ değerini bulalım:
$$25 - x = \frac{600}{30}$$
$$25 - x = 20$$
$$x = 25 - 20$$
$$x = 5$$
Eğer $x=5$ ise, her iki kulübe de üye olan öğrenci sayısı 5'tir.
- Sadece Matematik kulübüne üye olan öğrenci sayısı: $25 - 5 = 20$.
- Sadece Müzik kulübüne üye olan öğrenci sayısı: $30 - 5 = 25$.
Bu durumda, (sadece Matematik kulübü üyeleri) ile (Müzik kulübü üyeleri) arasındaki kartezyen çarpım: $20 \times 30 = 600$. Bu, soruda verilen bilgiyle uyumludur.
Diğer bir olası yorum olan (Matematik kulübü üyeleri) ile (sadece Müzik kulübü üyeleri) arasındaki kartezyen çarpımını da kontrol edelim: $25 \times (30-x) = 600 \implies 30-x = 24 \implies x=6$. Bu da bir tam sayı sonuç verir ancak seçeneklerde 6 bulunmamaktadır. Dolayısıyla, ilk yorumumuz doğru cevaba götürmektedir.
Her iki kulübe de üye olan öğrenci sayısı $x=5$'tir.
Cevap A seçeneğidir.
