Sevgili öğrenciler, bu soruda bir üçgenin önemli bir noktası olan ağırlık merkezinin (centroid) özelliklerini inceleyeceğiz. Ağırlık merkezi, üçgenin kenarortaylarının kesişim noktasıdır ve üçgenin denge noktası olarak da düşünülebilir.
- Kenarortay Nedir? Bir üçgende, bir köşeden karşı kenarın orta noktasına çizilen doğru parçasına kenarortay denir. Her üçgenin üç kenarortayı vardır. Örneğin, A köşesinden BC kenarının orta noktasına çizilen kenarortaya $V_a$ diyelim.
- Ağırlık Merkezi Nedir? Üçgenin üç kenarortayı tek bir noktada kesişir. Bu noktaya ağırlık merkezi denir. Genellikle 'G' harfi ile gösterilir.
- Ağırlık Merkezinin Temel Özelliği: Ağırlık merkezi, her bir kenarortayı köşeden itibaren $2:1$ oranında böler. Bu, ağırlık merkezinin geometri derslerinde sıkça karşımıza çıkan çok önemli bir özelliğidir.
- Bu özelliği daha açık ifade edelim: Eğer bir kenarortay A köşesinden başlayıp BC kenarının orta noktası olan D'ye uzanıyorsa (yani kenarortayımız AD ise), ağırlık merkezi G noktası bu AD kenarortayı üzerinde yer alır.
- Ağırlık merkezi G, kenarortay AD'yi iki parçaya ayırır: AG ve GD. Bu parçaların uzunlukları arasındaki oran $AG : GD = 2 : 1$'dir.
- Yani, AG uzunluğu, GD uzunluğunun iki katıdır. Eğer GD uzunluğuna $x$ dersek, AG uzunluğu $2x$ olur.
- Kenarortayın tamamının uzunluğu (AD) ise bu iki parçanın toplamıdır: $AD = AG + GD = 2x + x = 3x$.
- Soru bize ağırlık merkezinin köşeye olan uzaklığının (yani AG'nin), kenarortayın uzunluğunun (yani AD'nin) kaçta kaçı olduğunu soruyor.
- Bu oranı hesaplayalım: $\frac{AG}{AD} = \frac{2x}{3x}$.
- $x$'ler sadeleştiğinde oran $\frac{2}{3}$ olarak bulunur.
Bu sonuç, bir üçgende ağırlık merkezinin köşeye olan uzaklığının, o köşeden çıkan kenarortayın toplam uzunluğunun $\frac{2}{3}$'ü olduğunu gösterir.
Cevap C seçeneğidir.
