\( E = \{a, b, c, d, e, f\} \) ve \( A = \{a, b, c\} \) olarak veriliyor. \( A' \) kümesi için aşağıdakilerden hangisi doğrudur?
A) \( A' \cap A = E \)
B) \( A' \cup A = E \)
C) \( A' \subset A \)
D) \( A \subset A' \)
Merhaba sevgili öğrenciler!
Bu soruda, bir evrensel küme ($E$) ve bu kümenin bir alt kümesi ($A$) verilmiş. Bizden $A'$ kümesinin (yani $A$ kümesinin tümleyeni) özelliklerinden hangisinin doğru olduğunu bulmamız isteniyor. Adım adım ilerleyelim:
- 1. Adım: Verilen Kümeleri Anlayalım
- Evrensel küme $E$, üzerinde çalıştığımız tüm elemanları içeren en büyük kümedir. Burada $E = \{a, b, c, d, e, f\}$ olarak verilmiş.
- $A$ kümesi, evrensel kümenin bir alt kümesidir. Burada $A = \{a, b, c\}$ olarak verilmiş.
- 2. Adım: $A'$ Kümesini (A'nın Tümleyeni) Bulalım
- Bir $A$ kümesinin tümleyeni ($A'$), evrensel küme $E$ içinde olup $A$ kümesinde olmayan tüm elemanların kümesidir. Başka bir deyişle, $A' = E \setminus A$ (E fark A) demektir.
- $E = \{a, b, c, d, e, f\}$
- $A = \{a, b, c\}$
- $A'$ kümesini bulmak için $E$ kümesindeki elemanlardan $A$ kümesindeki elemanları çıkarırız:
- $A' = \{d, e, f\}$
- 3. Adım: Seçenekleri Tek Tek İnceleyelim
- A) $A' \cap A = E$
- $A'$ kümesi $\{d, e, f\}$ ve $A$ kümesi $\{a, b, c\}$'dir.
- $A' \cap A$ (A' kesişim A), her iki kümede de ortak olan elemanları ifade eder.
- $\{d, e, f\}$ ve $\{a, b, c\}$ kümelerinin ortak elemanı yoktur. Bu yüzden $A' \cap A = \emptyset$ (boş küme) olur.
- Boş küme, $E$ kümesine eşit değildir. Bu seçenek yanlıştır.
- B) $A' \cup A = E$
- $A'$ kümesi $\{d, e, f\}$ ve $A$ kümesi $\{a, b, c\}$'dir.
- $A' \cup A$ (A' birleşim A), her iki kümedeki tüm elemanları bir araya getirir.
- $A' \cup A = \{d, e, f\} \cup \{a, b, c\} = \{a, b, c, d, e, f\}$ olur.
- Bu küme, evrensel küme $E$'ye eşittir. Yani $A' \cup A = E$ ifadesi doğrudur.
- C) $A' \subset A$
- $A'$ kümesi $\{d, e, f\}$ ve $A$ kümesi $\{a, b, c\}$'dir.
- $A' \subset A$ (A' alt kümesidir A), $A'$ kümesindeki her elemanın $A$ kümesinde de bulunması gerektiği anlamına gelir.
- Örneğin, $d \in A'$ ama $d \notin A$. Bu yüzden $A'$ kümesi $A$ kümesinin alt kümesi değildir. Bu seçenek yanlıştır.
- D) $A \subset A'$
- $A$ kümesi $\{a, b, c\}$ ve $A'$ kümesi $\{d, e, f\}$'dir.
- $A \subset A'$ (A alt kümesidir A'), $A$ kümesindeki her elemanın $A'$ kümesinde de bulunması gerektiği anlamına gelir.
- Örneğin, $a \in A$ ama $a \notin A'$. Bu yüzden $A$ kümesi $A'$ kümesinin alt kümesi değildir. Bu seçenek yanlıştır.
Yapılan incelemeler sonucunda, doğru olan seçeneğin B olduğu görülmüştür.
Cevap B seçeneğidir.
