Bir sınıftaki öğrenciler iki gruba ayrılıyor. Birinci gruptaki öğrenciler 4'erli, ikinci gruptaki öğrenciler 5'erli sıra olunca hiç öğrenci artmıyor. Sınıf mevcudu 40'tan fazla olduğuna göre en az kaç öğrenci vardır?
A) 40
B) 45
C) 50
D) 55
Merhaba sevgili öğrenciler!
Bu problemde bir sınıftaki öğrenci sayısının belirli şartları sağladığını ve 40'tan fazla olduğunu biliyoruz. Bizden istenen, bu şartları sağlayan en az kaç öğrenci olabileceğini bulmak.
- 1. Problemi Anlayalım:
- Sınıftaki öğrenciler iki gruba ayrılıyor.
- Birinci gruptaki öğrenciler 4'erli sıra olunca hiç öğrenci artmıyor. Bu ne demek? Demek ki birinci gruptaki öğrenci sayısı 4'ün tam katı olmalı. Matematiksel olarak, birinci gruptaki öğrenci sayısına $N_1$ dersek, $N_1 = 4k_1$ şeklinde yazılabilir ($k_1$ bir tam sayı).
- İkinci gruptaki öğrenciler 5'erli sıra olunca hiç öğrenci artmıyor. Bu da demek oluyor ki ikinci gruptaki öğrenci sayısı 5'in tam katı olmalı. İkinci gruptaki öğrenci sayısına $N_2$ dersek, $N_2 = 5k_2$ şeklinde yazılabilir ($k_2$ bir tam sayı).
- Sınıf mevcudu, bu iki grubun toplamıdır. Yani, toplam öğrenci sayısı $N = N_1 + N_2 = 4k_1 + 5k_2$ formunda olmalıdır. Burada $k_1$ ve $k_2$ sıfır veya pozitif tam sayılar olabilir (çünkü bir grupta hiç öğrenci olmaması da mümkündür).
- Son olarak, sınıf mevcudu 40'tan fazla olmalı ($N > 40$).
- Bizden istenen, bu şartları sağlayan en az kaç öğrenci olduğudur.
- 2. Sınıf Mevcudunun Özelliğini Belirleyelim:
- Sınıf mevcudu, 4'ün katı olan bir sayı ile 5'in katı olan bir sayının toplamı şeklinde yazılabilmelidir. Yani, $N = 4k_1 + 5k_2$ formunda olmalıdır.
- Örneğin, 41 sayısı bu formda yazılabilir mi? Evet, $4 \times 9 + 5 \times 1 = 36 + 5 = 41$. Yani, birinci grupta 36, ikinci grupta 5 öğrenci olabilir.
- 42 sayısı bu formda yazılabilir mi? Evet, $4 \times 8 + 5 \times 2 = 32 + 10 = 42$.
- 43 sayısı bu formda yazılabilir mi? Evet, $4 \times 7 + 5 \times 3 = 28 + 15 = 43$.
- 44 sayısı bu formda yazılabilir mi? Evet, $4 \times 11 + 5 \times 0 = 44$.
- 45 sayısı bu formda yazılabilir mi? Evet, $4 \times 10 + 5 \times 1 = 40 + 5 = 45$.
- 3. 40'tan Büyük ve Şartı Sağlayan En Küçük Sayıyı Bulalım:
- Yukarıdaki örneklerden de gördüğümüz gibi, 40'tan büyük olan 41, 42, 43, 44, 45 gibi sayılar bu şartı sağlayabilir. Bu sayılar arasında en küçüğü 41'dir.
- Ancak, soruda bize verilen seçeneklere bakmamız gerekiyor. Bazen sorularda mutlak en küçük sayı seçeneklerde olmayabilir ve bizden seçenekler arasındaki en küçük sayıyı bulmamız istenir.
- 4. Seçenekleri Değerlendirelim:
- Seçenekler: A) 40, B) 45, C) 50, D) 55.
- Sınıf mevcudu 40'tan fazla olmalı. Bu yüzden A) 40 seçeneği elenir, çünkü 40, 40'tan fazla değildir.
- Şimdi kalan seçenekleri ($45, 50, 55$) kontrol edelim ve her birinin $4k_1 + 5k_2$ formunda yazılıp yazılamadığına bakalım:
- B) 45: Evet, $4 \times 10 + 5 \times 1 = 40 + 5 = 45$. Bu sayı şartı sağlar. (Örneğin, birinci grupta 40 öğrenci, ikinci grupta 5 öğrenci olabilir.)
- C) 50: Evet, $4 \times 5 + 5 \times 6 = 20 + 30 = 50$. Bu sayı da şartı sağlar. (Örneğin, birinci grupta 20 öğrenci, ikinci grupta 30 öğrenci olabilir.)
- D) 55: Evet, $4 \times 5 + 5 \times 7 = 20 + 35 = 55$. Bu sayı da şartı sağlar. (Örneğin, birinci grupta 20 öğrenci, ikinci grupta 35 öğrenci olabilir.)
- 5. En Küçük Değeri Seçelim:
- 40'tan büyük olan ve verilen şartı sağlayan seçenekler 45, 50 ve 55'tir.
- Bu sayılar arasında en küçüğü 45'tir.
Cevap B seçeneğidir.
