Eylemsizlik momenti nedir (I) Test 2

İki küre düşünelim: Birinci küre içi dolu, ikinci küre ise aynı kütle ve yarıçapta içi boş bir küredir. Her iki küre de merkezlerinden geçen eksen etrafında dönebilmektedir. Hangi kürenin eylemsizlik momenti daha büyüktür ve neden?

A) İçi dolu küre - kütlesi daha yoğun dağıldığı için
B) İçi boş küre - kütle eksenden daha uzakta dağıldığı için
C) İkisi de eşit - kütle ve yarıçapları aynı olduğu için
D) İçi dolu küre - hacmi daha büyük olduğu için

Eylemsizlik momenti, bir cismin dönme hareketine karşı gösterdiği direncin bir ölçüsüdür. Tıpkı kütlenin doğrusal harekete karşı gösterdiği direnç gibi düşünebilirsiniz.

• Eylemsizlik Momenti (I) Nedir?

  Eylemsizlik momenti, bir cismin kütlesinin dönme eksenine göre nasıl dağıldığına bağlıdır. Kütle ne kadar uzakta ve yoğun bir şekilde dağılmışsa, eylemsizlik momenti o kadar büyük olur. Genel olarak, eylemsizlik momenti $I = kMR^2$ şeklinde ifade edilebilir; burada $M$ cismin toplam kütlesi, $R$ cismin yarıçapı veya karakteristik boyutu ve $k$ ise cismin geometrisine ve kütle dağılımına bağlı bir sabittir.

• Kütle Dağılımının Karşılaştırılması:

  Soruda verilen iki kürenin kütleleri ($M$) ve yarıçapları ($R$) aynıdır. Ancak kütlelerinin dağılımı farklıdır:

  İçi dolu küre: Kütle, kürenin hacmi boyunca homojen olarak dağılmıştır. Yani, kütlenin bir kısmı dönme eksenine çok yakınken, bir kısmı da daha uzaktadır.

  İçi boş küre: Tüm kütle, kürenin dış yüzeyinde, yani dönme ekseninden maksimum uzaklıkta toplanmıştır. Bu durum, içi boş kürede kütlenin dönme ekseninden ortalama olarak daha uzakta dağıldığı anlamına gelir.

• Formüllerle Karşılaştırma:

  Merkezlerinden geçen eksen etrafında dönen küreler için eylemsizlik momenti formülleri şöyledir:

  • İçi dolu küre için eylemsizlik momenti: $I_{dolu} = \frac{2}{5}MR^2$
  • İçi boş küre için eylemsizlik momenti: $I_{boş} = \frac{2}{3}MR^2$

  Burada $M$ kürenin kütlesi ve $R$ kürenin yarıçapıdır. Gördüğünüz gibi, her iki kürenin de kütlesi ve yarıçapı aynıdır.

• Değerlerin Karşılaştırılması:

  Şimdi katsayıları karşılaştıralım:

  • $\frac{2}{5} = 0.4$
  • $\frac{2}{3} \approx 0.667$

  Açıkça görüldüğü gibi, $\frac{2}{3}$ değeri $\frac{2}{5}$ değerinden daha büyüktür. Bu da $I_{boş}$ değerinin $I_{dolu}$ değerinden daha büyük olduğu anlamına gelir.

• Sonuç:

  İçi boş kürenin eylemsizlik momenti, içi dolu küreninkinden daha büyüktür. Bunun nedeni, içi boş kürede kütlenin dönme ekseninden ortalama olarak daha uzakta dağılmış olmasıdır. Kütle, eksenden ne kadar uzakta toplanırsa, o cismi döndürmek veya dönmesini durdurmak o kadar zorlaşır, yani eylemsizlik momenti o kadar büyük olur.

Cevap B seçeneğidir.