Bir kümenin eleman sayısı 2 artırıldığında alt küme sayısı 48 artıyor. Buna göre bu kümenin eleman sayısı kaçtır?
A) 3Merhaba sevgili öğrenciler, bu soruyu adım adım birlikte çözelim. Küme problemlerinde eleman sayısı ve alt küme sayısı arasındaki ilişkiyi hatırlayarak başlayacağız.
Bir kümenin eleman sayısı $n$ ise, bu kümenin alt küme sayısı $2^n$ formülü ile bulunur. Bu temel bilgiyi soruyu çözmek için kullanacağız.
Soruda bizden kümenin başlangıçtaki eleman sayısı isteniyor. Buna $n$ diyelim:
Kümenin eleman sayısı 2 artırıldığında yeni durum şöyle olur:
Soruda, eleman sayısı 2 artırıldığında alt küme sayısının 48 arttığı belirtiliyor. Bu bilgiyi bir denklem olarak yazabiliriz:
Yeni alt küme sayısı = Başlangıçtaki alt küme sayısı + 48
$2^{n+2} = 2^n + 48$
Şimdi bu üslü denklemi çözerek $n$ değerini bulalım. Üslü sayılar kurallarından $a^{x+y} = a^x \cdot a^y$ olduğunu hatırlayalım. Bu kuralı $2^{n+2}$ ifadesine uygulayalım:
$2^{n+2} = 2^n \cdot 2^2 = 2^n \cdot 4$
Şimdi bu ifadeyi denklemimizde yerine yazalım:
$4 \cdot 2^n = 2^n + 48$
$2^n$ terimlerini denklemin bir tarafına toplayalım:
$4 \cdot 2^n - 2^n = 48$
$2^n$ parantezine alalım:
$(4-1) \cdot 2^n = 48$
$3 \cdot 2^n = 48$
Her iki tarafı 3'e bölelim:
$2^n = \frac{48}{3}$
$2^n = 16$
Şimdi düşünelim, 2'nin kaçıncı kuvveti 16 eder? $2^1=2$, $2^2=4$, $2^3=8$, $2^4=16$.
Demek ki $n=4$ olmalıdır.
Bulduğumuz $n=4$ değerini sorudaki koşullara göre kontrol edelim:
Bu sonuç, soruda verilen "alt küme sayısı 48 artıyor" bilgisiyle tamamen uyumludur. Yani bulduğumuz $n=4$ değeri doğrudur.
Bu kümenin eleman sayısı 4'tür.
Cevap B seçeneğidir.
